Escrever as equações das hipérboles, em relação às quais se dão as seguintes condições:
(b) Medida do eixo conjugado 24; focos F1(0,-13) e F2 0,13).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que é sobre hipérboles, uma figura geométrica da geometria analítica. A gente precisa saber sobre os componentes de uma hipérbole, como os focos, e entender as fórmulas básicas para escrever a equação dela. No nosso caso, a hipérbole tem um eixo conjugado de medida 24 e os focos estão nos pontos e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde estão os focos. Os pontos e estão alinhados verticalmente no eixo y, o que significa que a hipérbole tem um eixo transversal vertical.

Passo 3

Sabemos que para uma hipérbole com eixo vertical, a equação padrão é:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Aqui, é o centro da hipérbole, é a distância do centro até os vértices no eixo transversal, e é a distância relacionada ao eixo conjugado.

Passo 4

Observando os focos e , vemos que o centro da hipérbole está no meio deles, ou seja, no ponto . Então, e .

Passo 5

Sabemos que a distância entre os focos é , onde é a distância de cada foco até o centro. Aqui, (já que os focos estão a 13 unidades do centro), então .
Também nos foi dado que a medida do eixo conjugado é 24, o que significa que , então .

Passo 6

Agora, vamos relacionar 13^2 = a^2 + 12^2 169 = a^2 + 144 a^2 = 169 - 144 a^2 = 25 a = 5 , e na fórmula :

Passo 7

Com todos os valores encontrados, vamos substituir na equação padrão:
y^225 - x^2144 = 1

Resposta

A equação da hipérbole é:
y^225 - x^2144 = 1

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