Escrever as equações das hipérboles, em relação às quais se dão as seguintes condições:
(b) Medida do eixo conjugado 24; focos
e
.
(b) Medida do eixo conjugado 24; focos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que é sobre hipérboles, uma figura geométrica da geometria analítica. A gente precisa saber sobre os componentes de uma hipérbole, como os focos, e entender as fórmulas básicas para escrever a equação dela. No nosso caso, a hipérbole tem um eixo conjugado de medida 24 e os focos estão nos pontos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde estão os focos. Os pontos
e
estão alinhados verticalmente no eixo y, o que significa que a hipérbole tem um eixo transversal vertical.
Passo 3
Sabemos que para uma hipérbole com eixo vertical, a equação padrão é:
Aqui,
é o centro da hipérbole,
é a distância do centro até os vértices no eixo transversal, e
é a distância relacionada ao eixo conjugado.
Passo 4
Observando os focos
e
, vemos que o centro da hipérbole está no meio deles, ou seja, no ponto
. Então,
e
.
Passo 5
Sabemos que a distância entre os focos é
, onde
é a distância de cada foco até o centro. Aqui,
(já que os focos estão a 13 unidades do centro), então
.
Também nos foi dado que a medida do eixo conjugado é 24, o que significa que
, então
.
Passo 6
Agora, vamos relacionar
,
e
na fórmula
:
Passo 7
Com todos os valores encontrados, vamos substituir na equação padrão:
Resposta
A equação da hipérbole é:
Exercícios relacionados
Plote os seguintes paraboloides:
Plote os seguintes planos indicando seu vetor normal:
Considere a seguinte equação de uma cônica em coordenadas polares:
Escreva a equação da cônica em coordenadas cartesianas.
Uma hipérbole tem centro
e segmento transverso de comprimento
. paralelo paralelo ao eixo
. Se sua excentricidade é
, então a equação dessa hipérbole é.