Plote os seguintes paraboloides:
Passo 1
Beleza, você quer plotar o paraboloide definido pela equação
. Esse exercício cai na matéria de Geometria Analítica, mais especificamente no estudo de superfícies quádricas como os paraboloides. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar essa equação para identificar melhor as características do paraboloide, como seu vértice e orientação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação separando os termos de
e de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
. Completar o quadrado nos ajuda a reescrever a equação em uma forma mais fácil de interpretar.
Para o termo de
:
Completando o quadrado dentro dos parênteses:
Então:
Para o termo de
:
Completando o quadrado dentro dos parênteses:
Então:
Passo 4
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Passo 5
Agora, a equação está na forma padrão de um paraboloide:
Comparando, vemos que:
- O vértice está em
. - Os coeficientes negativos indicam que o paraboloide se abre para baixo.
- Os termos quadráticos em
e mostram que é um paraboloide elíptico.
Passo 6
Com essas informações, para plotar o paraboloide:
- Marque o vértice em
. - Como o paraboloide se abre para baixo, desenhe a superfície abrindo para baixo a partir do vértice.
- As seções paralelas ao plano
serão elipses, e as seções paralelas aos planos e serão parábolas. - Utilize as equações das seções para desenhar curvas auxiliares que ajudem na visualização da superfície.
Resposta
O paraboloide
se reescreve como
, com vértice em
e abre para baixo, sendo elíptico. Para plotar, marque o vértice e desenhe a superfície abrindo para baixo, considerando as seções elípticas e parabólicas correspondentes.
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A elipse
, tem focos
e
. Usando argumentos geométricos, determine a equação cartesiana da reta tangente à elipse no ponto
.
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(b) Medida do eixo conjugado 24; focos e
.
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