Considere a seguinte equação diferencial:
Encontre a solução que satisfaz .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial e pede para encontrar a solução que satisfaz . A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, especificamente aquelas que são exatas ou que podem ser tornadas exatas usando um fator integrante. Vamos precisar usar técnicas de cálculo para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar o trabalho. Temos:
Podemos organizar isso na forma , onde:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Mas calma, podemos usar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 4

Vamos procurar um fator integrante que depende apenas de . O fator é dado por:
Onde:
Então,

Passo 5

Multiplicamos toda a equação por para tornar a equação exata:
Simplificando:

Passo 6

Como a equação agora é exata, existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:

Passo 7

Então, a solução geral da equação é:
Agora, aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução que satisfaz é:

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