Considere a seguinte equação diferencial:
Encontre a solução que satisfaz
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial e pede para encontrar a solução que satisfaz
. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, especificamente aquelas que são exatas ou que podem ser tornadas exatas usando um fator integrante. Vamos precisar usar técnicas de cálculo para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar o trabalho. Temos:
Podemos organizar isso na forma
, onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Mas calma, podemos usar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 4
Vamos procurar um fator integrante que depende apenas de
. O fator é dado por:
Onde:
Então,
Passo 5
Multiplicamos toda a equação por
para tornar a equação exata:
Simplificando:
Passo 6
Como a equação agora é exata, existe uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Passo 7
Então, a solução geral da equação é:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Resposta
A solução que satisfaz
é:
Exercícios relacionados
Determine as raízes das equações.
Determine as raízes das equações.
Determine as raízes das equações.
Determine as raízes das equações.