Considere a seguinte equação diferencial:
e^(x^3) + sen(y) + x/3 cos(y) y' = 0
(a) Mostre que a equação diferencial (1.31) não é exata e que mu(x) = x^2 é um fator integrante da mesma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial e pede para mostrar que ela não é exata e que um certo fator integrante, , pode torná-la exata. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e o conceito de exatidão, além de como encontrar fatores integrantes. Vamos precisar revisar o que significa uma equação ser exata e como aplicar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma:
é dita exata se existir uma função tal que:
Para verificar se a equação dada é exata, vamos identificar M(x, y) e N(x, y).

Passo 3

Na equação dada:
Podemos reescrever para colocar na forma padrão:
Então:

Passo 4

Agora, para verificar a exatidão, devemos comparar as derivadas parciais cruzadas:
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 5

Calculando :
Calculando :

Passo 6

Agora, comparamos as duas derivadas:
Vemos que , o que significa que a equação não é exata.

Passo 7

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante mu(x) que, ao multiplicar a equação original, torne-a exata. Sabemos que o fator integrante depende apenas de x, ou seja, .
A condição para mu(x) é:
Vamos aplicar essa condição.

Passo 8

Substituindo os valores encontrados:
Então, temos:

Passo 9

Essa é uma equação diferencial para mu(x). Podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Como é uma constante, podemos considerar .

Resposta

Assim, mostramos que a equação diferencial não é exata e que o fator integrante a torna exata.

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