Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial (1.31) não é exata e que
é um fator integrante da mesma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial e pede para mostrar que ela não é exata e que um certo fator integrante,
, pode torná-la exata. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e o conceito de exatidão, além de como encontrar fatores integrantes. Vamos precisar revisar o que significa uma equação ser exata e como aplicar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma:
é dita exata se existir uma função
tal que:
Para verificar se a equação dada é exata, vamos identificar
e
.
Passo 3
Na equação dada:
Podemos reescrever para colocar na forma padrão:
Então:
Passo 4
Agora, para verificar a exatidão, devemos comparar as derivadas parciais cruzadas:
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 5
Calculando
:
Calculando
:
Passo 6
Agora, comparamos as duas derivadas:
Vemos que
, o que significa que a equação não é exata.
Passo 7
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante
que, ao multiplicar a equação original, torne-a exata. Sabemos que o fator integrante depende apenas de
, ou seja,
.
A condição para
é:
Vamos aplicar essa condição.
Passo 8
Substituindo os valores encontrados:
Então, temos:
Passo 9
Essa é uma equação diferencial para
. Podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Como
é uma constante, podemos considerar
.
Resposta
Assim, mostramos que a equação diferencial não é exata e que o fator integrante
a torna exata.