Resolva os seguintes sistema de EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e encontrar tanto a solução geral quanto a solução particular com as condições iniciais dadas. Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares, como encontrar autovalores e autovetores da matriz associada ao sistema. Vamos resolver passo a passo para ficar bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de EDOs na forma matricial. Podemos representar as equações dadas como:
onde
e

Passo 3

Para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Isso é feito resolvendo o determinante da matriz igual a zero:
Vamos calcular o determinante:

Passo 4

Expandindo o determinante, temos:
Calculando cada determinante menor:
Simplificando:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação cúbica:
Multiplicando por -1 para facilitar:
Testando possíveis raízes racionais, vemos que é uma raiz:
Então, fatoramos e dividimos o polinômio:
Resolvendo :
Então, as raízes são , , e .

Passo 6

Com os autovalores , e , vamos encontrar os autovetores correspondentes para construir a solução geral.
Para cada , resolvemos .
Para :
Resolvendo o sistema, encontramos que um autovetor é .
Para :
Resolvendo, encontramos .
Para :
Resolvendo, obtemos .

Passo 7

Agora, a solução geral do sistema é uma combinação linear dos autovetores multiplicados por :
onde são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial :
Isso resulta no sistema de equações:
Da terceira equação, temos .
Substituindo na segunda equação:
E na primeira equação:
Resolvendo o sistema:
Somando as duas equações:
Então, .

Resposta

A solução particular do sistema, atendendo às condições iniciais, é:
Simplificando:
Ou, detalhando cada componente:

Exercícios relacionados

Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial (1.31) não é exata e que é um fator integrante da mesma.
Resolva as equações:
© .
(b) Calcule , onde é dada por .
Resolva as equações:
(d) .