Resolva os seguintes sistema de EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
lx1^prime=x1+x2+2 x3 x2^prime=2 x2+2 x3 x3^prime=-x1+x2+3 x3 ; x(0)=[l2 0 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e encontrar tanto a solução geral quanto a solução particular com as condições iniciais dadas. Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares, como encontrar autovalores e autovetores da matriz associada ao sistema. Vamos resolver passo a passo para ficar bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de EDOs na forma matricial. Podemos representar as equações dadas como:
x' = Ax
onde
A = 1 & 1 & 2 0 & 2 & 2 -1 & 1 & 3
e
x(0) = 2 0 1

Passo 3

Para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Isso é feito resolvendo o determinante da matriz det 1-lambda & 1 & 2 0 & 2-lambda & 2 -1 & 1 & 3-lambda = 0 igual a zero:
Vamos calcular o determinante:

Passo 4

Expandindo o determinante, temos:
(1-lambda) cdot det 2-lambda & 2 1 & 3-lambda - 1 cdot det 0 & 2 -1 & 3-lambda + 2 cdot det 0 & 2-lambda -1 & 1 = 0
Calculando cada determinante menor:
(1-lambda)[(2-lambda)(3-lambda) - 2 cdot 1] - 1[(0)(3-lambda) - 2(-1)] + 2[(0 cdot 1) - (2-lambda)(-1)] = 0
Simplificando:
(1-lambda)[(2-lambda)(3-lambda) - 2] - 1[0 + 2] + 2[0 + (2-lambda)] = 0
(1-lambda)[(6 - 5lambda + lambda^2) - 2] - 2 + 4 - 2lambda = 0
(1-lambda)(4 - 5lambda + lambda^2) + 2 - 2lambda = 0
4 - 5lambda + lambda^2 -4lambda + 5lambda^2 - lambda^3 + 2 - 2lambda = 0
-lambda^3 + 6lambda^2 -11lambda +6 = 0

Passo 5

Agora, resolvemos a equação cúbica:
-lambda^3 + 6lambda^2 -11lambda +6 = 0
Multiplicando por -1 para facilitar:
lambda^3 - 6lambda^2 +11lambda -6 = 0
Testando possíveis raízes racionais, vemos que 1 -6 +11 -6 =0 é uma raiz:
lambda^3 -6lambda^2 +11lambda -6 = (lambda -1)(lambda^2 -5lambda +6)
Então, fatoramos lambda = 5 pm raiz25 -242 = 5 pm 12 e dividimos o polinômio:
Resolvendo :
Então, as raízes são , , e .

Passo 6

Com os autovalores A - I = 0 & 1 & 2 0 &1 &2 -1 &1 &2 , -1 1 0 e A -2I = -1 &1 &2 0 &0 &2 -1 &1 &1 , vamos encontrar os autovetores correspondentes para construir a solução geral.
Para cada 1 1 0 , resolvemos A -3I = -2 &1 &2 0 &-1 &2 -1 &1 &0 .
Para 1 1 1 :
Resolvendo o sistema, encontramos que um autovetor é .
Para :
Resolvendo, encontramos .
Para :
Resolvendo, obtemos .

Passo 7

Agora, a solução geral do sistema é uma combinação linear dos autovetores multiplicados por x(t) = C1 e^t -1 1 0 + C2 e^2t 1 1 0 + C3 e^3t 1 1 1 :
onde são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial 2 0 1:
x(0) = C1 -1 1 0 + C2 1 1 0 + C3 1 1 1 = 2 0 1
Isso resulta no sistema de equações:
- C1 + C2 + C3 = 2 C1 + C2 + C3 = 0 0 + 0 + C3 =1
Da terceira equação, temos C1 + C2 +1 =0 Rightarrow C1 + C2 = -1 .
Substituindo - C1 + C2 +1 =2 Rightarrow -C1 + C2 =1 na segunda equação:
C1 + C2 = -1 -C1 + C2 =1
E na primeira equação:
2C2 =0 Rightarrow C2 =0
Resolvendo o sistema:
Somando as duas equações:
Então, .

Resposta

A solução particular do sistema, atendendo às condições iniciais, é:
x(t) = -e^t -1 1 0 + 0 cdot e^2t 1 1 0 + e^3t 1 1 1
Simplificando:
x(t) = e^t 1 -1 0 + e^3t 1 1 1
Ou, detalhando cada componente:
x1(t) = e^t + e^3t
x2(t) = -e^t + e^3t
x3(t) = e^3t

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