Resolva os seguintes sistema de EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e encontrar tanto a solução geral quanto a solução particular com as condições iniciais dadas. Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares, como encontrar autovalores e autovetores da matriz associada ao sistema. Vamos resolver passo a passo para ficar bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de EDOs na forma matricial. Podemos representar as equações dadas como:
onde
e
Passo 3
Para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Isso é feito resolvendo o determinante da matriz igual a zero:
Vamos calcular o determinante:
Passo 4
Expandindo o determinante, temos:
Calculando cada determinante menor:
Simplificando:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação cúbica:
Multiplicando por -1 para facilitar:
Testando possíveis raízes racionais, vemos que é uma raiz:
Então, fatoramos e dividimos o polinômio:
Resolvendo :
Então, as raízes são , , e .
Passo 6
Com os autovalores , e , vamos encontrar os autovetores correspondentes para construir a solução geral.
Para cada , resolvemos .
Para :
Resolvendo o sistema, encontramos que um autovetor é .
Para :
Resolvendo, encontramos .
Para :
Resolvendo, obtemos .
Passo 7
Agora, a solução geral do sistema é uma combinação linear dos autovetores multiplicados por :
onde são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 8
Aplicamos a condição inicial :
Isso resulta no sistema de equações:
Da terceira equação, temos .
Substituindo na segunda equação:
E na primeira equação:
Resolvendo o sistema:
Somando as duas equações:
Então, .
Resposta
A solução particular do sistema, atendendo às condições iniciais, é: