Resolva as equações:
©
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de equações exatas e como identificar se a nossa equação se encaixa nessa categoria.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para ficar no formato padrão de uma equação diferencial:
Identificando os termos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Calculando essas derivadas:
Como
, nossa equação é exata!
Passo 4
Sabendo que a equação é exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos, vemos que:
Integrando
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
de volta em
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Defina
de maneira que
seja contínua na origem:
Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial (1.31) não é exata e que
é um fator integrante da mesma.
Resolva os seguintes sistema de EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.