Resolva as equações:
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Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de equações exatas e como identificar se a nossa equação se encaixa nessa categoria.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para ficar no formato padrão de uma equação diferencial:
Identificando os termos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Calculando essas derivadas:
Como , nossa equação é exata!

Passo 4

Sabendo que a equação é exata, podemos encontrar uma função tal que:
Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos, vemos que:
Integrando :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos de volta em :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Defina de maneira que seja contínua na origem:
Use a Regra da Cadeia para determinar ou .
Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial (1.31) não é exata e que é um fator integrante da mesma.
Resolva os seguintes sistema de EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.