Considere a seguinte equação diferencial:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial. Para isso, vamos usar o conceito de equações diferenciais exatas. Precisamos verificar se a equação é exata ou se precisamos encontrar um fator integrante que a torne exata.

Passo 2

Vamos identificar os termos e na equação:
Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada de em relação a for igual à derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Para encontrar , integramos em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece na constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos encontrar diferenciando em relação a e igualando a :
Simplificando:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, temos a função :
A solução geral da equação diferencial exata é dada por:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

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