Considere a seguinte equação diferencial:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial. Para isso, vamos usar o conceito de equações diferenciais exatas. Precisamos verificar se a equação é exata ou se precisamos encontrar um fator integrante que a torne exata.
Passo 2
Vamos identificar os termos
e
na equação:
Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada de
em relação a
for igual à derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece na constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos encontrar
diferenciando
em relação a
e igualando a
:
Simplificando:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, temos a função
:
A solução geral da equação diferencial exata é dada por:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.
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Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é
.
Encontre a série de Maclaurin da função
e determine o raio de convergência.
Considere a seguinte equação diferencial:
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