Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar uma equação diferencial cuja solução geral seja . Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e soluções gerais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a solução geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma , onde e são as raízes da equação característica.
No nosso caso, a solução dada é . Observamos que uma das soluções é e a outra é (que é uma constante, já que não depende de ).

Passo 3

Vamos derivar para encontrar e :

Passo 4

Agora, queremos encontrar uma equação que relaciona , e . Observando as derivadas, notamos que e .
Podemos expressar em termos de :
Assim, a equação diferencial que satisfaz a solução geral dada é:

Resposta

A equação diferencial é .

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(a) .
Considere a seguinte equação diferencial:
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