Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar uma equação diferencial cuja solução geral seja
. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e soluções gerais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a solução geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma
, onde
e
são as raízes da equação característica.
No nosso caso, a solução dada é
. Observamos que uma das soluções é
e a outra é
(que é uma constante, já que não depende de
).
Passo 3
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Passo 4
Agora, queremos encontrar uma equação que relaciona
,
e
. Observando as derivadas, notamos que
e
.
Podemos expressar
em termos de
:
Assim, a equação diferencial que satisfaz a solução geral dada é:
Resposta
A equação diferencial é
.
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e determine o raio de convergência.
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(a) .
(a)
Considere a seguinte equação diferencial:
Considere a seguinte equação diferencial: