Considere a seguinte equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver isso, vamos precisar encontrar duas partes da solução: a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o lado direito:
Para isso, formamos a equação característica substituindo
por
,
por
, e
por 1:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, as raízes são
e
. Isso nos dá a solução geral da parte homogênea:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa. O lado direito da equação é
, que é um produto de um polinômio de primeiro grau e uma função exponencial.
Como
já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa suposição por
para evitar repetição. Então, assumimos que a solução particular tem a forma:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
para substituir na equação original.
Primeiro, a primeira derivada:
Simplificando:
Agora, a segunda derivada:
Substituindo
,
, e
na equação original:
Simplificando os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso simplifica para:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
dos dois lados da equação:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 5
Agora que temos
e
, substituímos de volta na expressão para
:
Então, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Considere a seguinte equação diferencial:
Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é
.
Considere a seguinte equação diferencial:
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