Considere a seguinte equação diferencial:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver isso, vamos precisar encontrar duas partes da solução: a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o lado direito:
Para isso, formamos a equação característica substituindo por , por , e por 1:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, as raízes são e . Isso nos dá a solução geral da parte homogênea:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa. O lado direito da equação é , que é um produto de um polinômio de primeiro grau e uma função exponencial.
Como já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa suposição por para evitar repetição. Então, assumimos que a solução particular tem a forma:
Aqui, e são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de para substituir na equação original.
Primeiro, a primeira derivada:
Simplificando:
Agora, a segunda derivada:
Substituindo , , e na equação original:
Simplificando os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso simplifica para:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação:
Para :
Para :
Para o termo constante:

Passo 5

Agora que temos e , substituímos de volta na expressão para :
Então, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Considere a seguinte equação diferencial:
Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é .
Considere a seguinte equação diferencial:
Considere a seguinte equação diferencial: