Encontre a série de Maclaurin da função e determine o raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a série de Maclaurin da função e descobrir qual é o raio de convergência dessa série. A série de Maclaurin é basicamente uma maneira de representar funções usando polinômios, facilitando a análise e os cálculos. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da série de Maclaurin e as derivadas da função seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Maclaurin para uma função é dada por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas da função avaliadas em zero.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
E assim por diante. Observamos que as derivadas de ordem ímpar alternam entre 1 e -1, e as de ordem par são sempre 0.
Passo 4
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da série de Maclaurin:
Como as derivadas de ordem par são zero, somente termos de ordem ímpar vão aparecer. Então, a série fica:
Ou de forma geral:
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o teste da razão, que nos ajuda a verificar para quais valores de a série converge.
Aplicando o teste da razão, consideramos:
Simplificando, obtemos:
Como o limite é 0, que é menor que 1, a série converge para todos os valores de .
Resposta
A série de Maclaurin da função é:
E o raio de convergência dessa série é infinito, ou seja, ela converge para todo real.