Considere a seguinte equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial:
e uma condição inicial
.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, geralmente colocamos na forma padrão e usamos o fator integrante.
O que vamos precisar: Saber identificar a forma da equação, reorganizar os termos para aplicar o fator integrante e, por fim, usar a condição inicial para encontrar a constante de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para colocá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Para isso, dividimos todos os termos por
:
Agora, nossa equação está na forma padrão, onde:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela
:
Isso transforma a equação em uma forma que facilita a aplicação da regra do produto na derivada.
Passo 5
A equação multiplicada pelo fator integrante pode ser reescrita como a derivada de
:
Isso acontece porque o fator integrante foi escolhido exatamente para que isso aconteça.
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente
.
Passo 7
Calculando a integral do lado direito:
Fazendo uma substituição
, então
:
Passo 8
Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Substituindo
e
na equação:
Sabemos que
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
senht.
Sugestão: .
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