Considere a seguinte equação diferencial:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial:
e uma condição inicial .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, geralmente colocamos na forma padrão e usamos o fator integrante.
O que vamos precisar: Saber identificar a forma da equação, reorganizar os termos para aplicar o fator integrante e, por fim, usar a condição inicial para encontrar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para colocá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Para isso, dividimos todos os termos por :
Agora, nossa equação está na forma padrão, onde:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela :
Isso transforma a equação em uma forma que facilita a aplicação da regra do produto na derivada.

Passo 5

A equação multiplicada pelo fator integrante pode ser reescrita como a derivada de :
Isso acontece porque o fator integrante foi escolhido exatamente para que isso aconteça.

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente .

Passo 7

Calculando a integral do lado direito:
Fazendo uma substituição , então :

Passo 8

Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Substituindo e na equação:
Sabemos que , então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Encontre a solução geral da equação diferencial dada: senht.
Sugestão: .