Considere a seguinte equação diferencial
(a) Encontre a solução geral para a EDO.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) que relaciona e . O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais e substituições que facilitam a resolução.
A equação que temos é:

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar essa equação para facilitar o trabalho. Note que tanto o numerador quanto o denominador têm termos que podem ser fatorados. Vamos dividir ambos por 2 para simplificar:
Agora, a equação está mais simples:

Passo 3

Vamos tentar identificar que tipo de equação diferencial estamos lidando. Observando a estrutura, parece que uma substituição pode ajudar. Vamos tentar usar a substituição . Isso é útil quando temos termos de e que podem ser expressos em função de .
Definindo , então . Agora, precisamos encontrar em termos de e :

Passo 4

Vamos substituir e na equação original:
Simplificando o denominador:
Então, a equação fica:
Mas perceba que aparece no numerador e no denominador, o que sugere que talvez precisemos revisar nossa substituição ou simplificar de outra forma.

Passo 5

Vamos tentar outra abordagem. Observando a equação original:
Podemos notar que tanto o numerador quanto o denominador são homogêneos de mesmo grau. Isso significa que a equação é homogênea e podemos usar a substituição .
Então, seguindo essa linha, vamos reescrever e .
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos isolar . Subtraia dos dois lados:
Vamos simplificar o lado direito combinando os termos:
Simplificando o numerador:
Portanto:

Passo 7

Vamos multiplicar numerador e denominador por 3 para eliminar as frações:
Rearranjando os termos:

Passo 8

Agora, temos uma equação separável que podemos escrever como:
Vamos integrar ambos os lados. Antes de integrar o lado esquerdo, precisamos simplificar a fração. Vamos tentar fazer uma divisão polinomial ou substituição adequada.
Observando o denominador , notamos que pode ser difícil de fatorar diretamente. Então, vamos verificar se existe uma substituição que simplifique.
Vamos testar , então .
Isso se encaixa perfeitamente no numerador :

Passo 9

Substituindo, a integral fica:
Lado direito:
Então, unindo as integrais:

Passo 10

Agora, vamos substituir de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Onde é uma constante arbitrária.

Passo 11

Vamos simplificar a expressão exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma nova constante.
Então, temos:

Passo 12

Multiplicando ambos os lados por para eliminar as frações:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada, onde é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Use a Regra da Cadeia para determinar ou .
Use a Regra da Cadeia para determinar e .