Use a Regra da Cadeia para determinar partial z / partial s e partial z / partial t.
z=x^2 sen y, x=s^2+t^2, y=2 s t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar a Regra da Cadeia para achar as derivadas parciais de em relação a e . A gente está lidando com funções compostas aqui: depende de e , que por sua vez dependem de e . Então, vamos precisar entender como aplicar a Regra da Cadeia nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas:
z = x^2 cdot sen(y)
x = s^2 + t^2
Queremos encontrar y = 2 s t e .

Passo 3

Vamos começar com partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s . Segundo a Regra da Cadeia, temos:
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 4

Primeiro, calculemos z = x^2 cdot sen(y) implies partial zpartial x = 2x cdot sen(y) :

Passo 5

Agora, x = s^2 + t^2 implies partial xpartial s = 2s :

Passo 6

Em seguida, z = x^2 cdot sen(y) implies partial zpartial y = x^2 cdot cos(y) :

Passo 7

E y = 2 s t implies partial ypartial s = 2t :

Passo 8

Agora, juntando tudo para partial zpartial s = (2x cdot sen(y)) cdot (2s) + (x^2 cdot cos(y)) cdot (2t) :

Passo 9

Vamos agora calcular partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t usando a mesma Regra da Cadeia:

Passo 10

Primeiro, x = s^2 + t^2 implies partial xpartial t = 2t :

Passo 11

Depois, y = 2 s t implies partial ypartial t = 2s :

Passo 12

Juntando tudo para partial zpartial t = (2x cdot sen(y)) cdot (2t) + (x^2 cdot cos(y)) cdot (2s) :

Resposta

As derivadas parciais são:

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