Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida de até da função . Neste caso, estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente com frações racionais, e vamos precisar usar a técnica de frações parciais para resolver.

Passo 2

Para resolver a integral, vamos primeiro fatorar o denominador . Vamos encontrar dois números que multiplicados dão 2 e somados dão 3. Esses números são 1 e 2, então o denominador pode ser fatorado assim:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração como uma soma de frações parciais. Ou seja, vamos encontrar constantes e tal que:
Para encontrar e , multiplicamos ambos os lados por :
Escolhendo valores específicos para simplifica a resolução. Por exemplo, se :
E se :

Passo 4

Agora que temos e , podemos reescrever a integral original:

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a , vamos avaliar os limites:

Passo 6

Primeiro, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Depois, avaliamos na base da integral, :

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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