Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida de
até
da função
. Neste caso, estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente com frações racionais, e vamos precisar usar a técnica de frações parciais para resolver.
Passo 2
Para resolver a integral, vamos primeiro fatorar o denominador
. Vamos encontrar dois números que multiplicados dão 2 e somados dão 3. Esses números são 1 e 2, então o denominador pode ser fatorado assim:
Passo 3
Agora, vamos expressar a fração
como uma soma de frações parciais. Ou seja, vamos encontrar constantes
e
tal que:
Para encontrar
e
, multiplicamos ambos os lados por
:
Escolhendo valores específicos para
simplifica a resolução. Por exemplo, se
:
E se
:
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos reescrever a integral original:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo:
Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a
, vamos avaliar os limites:
Passo 6
Primeiro, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Depois, avaliamos na base da integral,
:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Use a Regra da Cadeia para determinar
e
.
Considere a seguinte equação diferencial
(a) Encontre a solução geral para a EDO.
Mostre que uma equação linear
é exata se
.
Use a Regra da Cadeia para determinar
e
.