integral0^infty d zz^2+3 z+2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida de até da função . Neste caso, estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente com frações racionais, e vamos precisar usar a técnica de frações parciais para resolver.

Passo 2

Para resolver a integral, vamos primeiro fatorar o denominador z^2 + 3z + 2 = (z + 1)(z + 2) . Vamos encontrar dois números que multiplicados dão 2 e somados dão 3. Esses números são 1 e 2, então o denominador pode ser fatorado assim:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração 1(z + 1)(z + 2) = Az + 1 + Bz + 2 como uma soma de frações parciais. Ou seja, vamos encontrar constantes 1 = A(z + 2) + B(z + 1) e 1 = A(0) + B(-2 + 1) Rightarrow 1 = -B Rightarrow B = -1 tal que:
1 = A(-1 + 2) + B(0) Rightarrow 1 = A(1) Rightarrow A = 1
Para encontrar e , multiplicamos ambos os lados por :
Escolhendo valores específicos para simplifica a resolução. Por exemplo, se :
E se :

Passo 4

Agora que temos integral0^infty ( 1z + 1 - 1z + 2 ) dz e , podemos reescrever a integral original:

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
integral 1z + 1 dz - integral 1z + 2 dz = ln|z + 1| - ln|z + 2| + C
Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a [ ln(z + 1) - ln(z + 2) ]0^infty , vamos avaliar os limites:

Passo 6

Primeiro, calculamos o limite quando limz to infty ( ln(z + 1) - ln(z + 2) ) = limz to infty ln( z + 1z + 2 ) = ln(1) = 0 tende ao infinito:
ln(0 + 1) - ln(0 + 2) = ln(1) - ln(2) = 0 - ln(2) = -ln(2)
Depois, avaliamos na base da integral, :

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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