Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
senht.
Sugestão:
.
Sugestão:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a solução geral da equação diferencial
. Isso pertence ao assunto de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver essa equação, vamos encontrar a equação característica. Substituímos
, o que nos dá:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como a raiz é negativa, temos números complexos. Podemos escrever:
Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Sabemos que
, então podemos reescrever a equação como:
Vamos assumir uma solução particular na forma:
Onde
e
são constantes que vamos determinar. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Agora, igualamos os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 4
Finalmente, para obter a solução geral da equação diferencial, somamos a solução homogênea (
) com a solução particular (
):
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Considere a seguinte equação diferencial:
Considere a seguinte equação diferencial:
Considere a seguinte equação diferencial:
Considere a seguinte equação diferencial: