Encontre a solução geral da equação diferencial dada: senht.
Sugestão: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a solução geral da equação diferencial . Isso pertence ao assunto de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver essa equação, vamos encontrar a equação característica. Substituímos , o que nos dá:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como a raiz é negativa, temos números complexos. Podemos escrever:
Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Sabemos que , então podemos reescrever a equação como:
Vamos assumir uma solução particular na forma:
Onde e são constantes que vamos determinar. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Agora, igualamos os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 4

Finalmente, para obter a solução geral da equação diferencial, somamos a solução homogênea ( ) com a solução particular ( ):

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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