Considere a seguinte equação diferencial:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me apresentou uma equação diferencial de segunda ordem:
Esse tipo de problema pertence ao estudo de equações diferenciais lineares. Para resolvê-la, vamos precisar usar técnicas de redução de ordem e fatores integrais. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz a equação e as condições iniciais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos chamar . Assim, a equação original fica:
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem para .

Passo 3

Essa equação é do tipo linear, na forma:
Onde:
Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante , que é dado por:

Passo 4

Calculando o fator integrante:
Então,

Passo 5

Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma derivada do produto.

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Para resolver a integral do lado direito, podemos usar identidades trigonométricas ou substituições.

Passo 7

Usando identidades trigonométricas:
Então, a integral fica:

Passo 8

Voltando à equação:
Resolvendo para :

Passo 9

Lembrando que , temos:
Agora, precisamos integrar novamente para encontrar .

Passo 10

Integrando :
Usamos a identidade :
Simplificando:

Passo 11

Calculando as integrais:

Passo 12

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeiro, quando :
Então, .

Passo 13

Agora, vamos derivar para aplicar a segunda condição :
Avaliando em :
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Encontre a solução geral da equação diferencial dada: senht.
Sugestão: .
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