Considere a seguinte equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me apresentou uma equação diferencial de segunda ordem:
Esse tipo de problema pertence ao estudo de equações diferenciais lineares. Para resolvê-la, vamos precisar usar técnicas de redução de ordem e fatores integrais. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz a equação e as condições iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos chamar
. Assim, a equação original fica:
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem para
.
Passo 3
Essa equação é do tipo linear, na forma:
Onde:
Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante
, que é dado por:
Passo 4
Calculando o fator integrante:
Então,
Passo 5
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma derivada do produto.
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Para resolver a integral do lado direito, podemos usar identidades trigonométricas ou substituições.
Passo 7
Usando identidades trigonométricas:
Então, a integral fica:
Passo 8
Voltando à equação:
Resolvendo para
:
Passo 9
Lembrando que
, temos:
Agora, precisamos integrar novamente para encontrar
.
Passo 10
Integrando
:
Usamos a identidade
:
Simplificando:
Passo 11
Calculando as integrais:
Passo 12
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeiro, quando
:
Então,
.
Passo 13
Agora, vamos derivar
para aplicar a segunda condição
:
Avaliando em
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
senht.
Sugestão: .
Sugestão:
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