Considere a seguinte equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma equação diferencial do terceiro grau:
O conteúdo envolvido aqui é Equações Diferenciais Lineares de Coeficientes Constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução complementar (da equação homogênea) e da solução particular (pela parte não homogênea do lado direito). Vamos quebrar isso em passos para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos a equação característica substituindo
:
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 3:
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica. Tentando valores racionais possíveis, descobrimos que
é uma raiz. Então, podemos fatorar a equação:
Resolvendo
com a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução complementar
é dada por:
Onde
são constantes que determinaremos com condições iniciais (se forem fornecidas).
Passo 4
Agora, vamos encontrar a solução particular
para a parte não homogênea:
Vamos lidar com cada termo separadamente.
Primeiro termo:
Para encontrar uma solução particular desse termo, assumimos:
Derivando e substituindo na equação original, resolvemos para
. Após os cálculos, encontramos o valor de
.
Segundo termo:
Aqui, usamos a técnica de coeficientes a determinar. Assumimos uma forma mais complicada devido ao polinômio e à função trigonométrica:
Substituímos
e suas derivadas na equação diferencial e igualamos os coeficientes para resolver os valores de
.
Após resolver esse sistema de equações, obtemos os valores dos coeficientes que nos dão a solução particular
.
Passo 5
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:
Onde substituímos
,
e
com os termos que encontramos nos passos anteriores.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais ou pelo processo de resolução apresentado.
Exercícios relacionados
Considere a seguinte equação diferencial:
Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
senht.
Sugestão: .
Sugestão:
Considere a seguinte equação diferencial:
Considere a seguinte equação diferencial: