Considere a seguinte equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e, depois, aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de
:
Podemos usar a fórmula quadrática:
Então, temos uma raiz dupla
.
Passo 4
Quando a equação característica tem raízes iguais
, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
, temos:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeira condição:
Substituindo
na solução geral:
Então,
.
Passo 6
Segunda condição:
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
:
Usando a regra do produto:
Agora, substituindo
:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições dadas é: