Considere a seguinte equação diferencial:
{ y'' - 8y' + 16y = 0; y(0) = 2; y'(0) = 3 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
{ y'' - 8y' + 16y = 0; y(0) = 2; y'(0) = 3 }
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e, depois, aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de :
Podemos usar a fórmula quadrática:
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 4

Quando a equação característica tem raízes iguais , a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo , temos:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeira condição:
Substituindo na solução geral:
Então, .

Passo 6

Segunda condição:
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de :
Usando a regra do produto:
Agora, substituindo :

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições dadas é:

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