Considere a seguinte equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea
x y^prime prime+(x+2) y^prime+2 y=0
com x>0. Uma das raizes da equação indicial é s=0. (a) Use o método de Frobenius para achar a solução y1(x) correspondente à raíz indicada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem homogênea dada por:
x y'' + (x + 2) y' + 2 y = 0
Nosso objetivo é encontrar a solução usando o método de Frobenius, sabendo que uma das raízes da equação indicial é . O método de Frobenius é uma técnica para resolver equações diferenciais perto de pontos singulares, assumindo uma solução em série de potências. Vamos precisar usar esse método passo a passo para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução y(x) = x^s sumn=0^infty an x^n pode ser escrita na forma de uma série de potências multiplicada por y(x) = sumn=0^infty an x^n :
Como sabemos que , nossa solução simplifica para:
Isso significa que vamos procurar uma solução que é uma série infinita de potências de .

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas primeira e segunda de y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1 :
Primeira derivada:
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2
Segunda derivada:
Essas expressões vão nos ajudar a substituir na equação original.

Passo 4

Vamos substituir x ( sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 ) + (x + 2) ( sumn=1^infty n an x^n-1 ) + 2 ( sumn=0^infty an x^n ) = 0 , e na equação diferencial:
Vamos simplificar cada termo:

Passo 5

Agora, juntamos todos os termos e ajustamos os índices para que todas as séries tenham o mesmo expoente de sumn=2^infty n(n-1) an x^n-1 = sumn=1^infty (n+1)n an+1 x^n . Vamos reescrever cada série para facilitar:
  1. Primeiro termo:
sumn=1^infty n an x^n
  1. Segundo termo:
2 sumn=1^infty n an x^n-1 = 2 sumn=0^infty (n+1) an+1 x^n
  1. Terceiro termo:
2 sumn=0^infty an x^n
  1. Quarto termo:
sumn=1^infty (n+1)n an+1 x^n + sumn=1^infty n an x^n + 2 sumn=0^infty (n+1) an+1 x^n + 2 sumn=0^infty an x^n = 0
Agora, todas as séries estão com . Vamos somá-las:

Passo 6

Para que a equação seja válida para todo (n+1)n an+1 + n an + 2 (n+1) an+1 + 2 an = 0 , os coeficientes de cada potência de (n^2 + n + 2n + 2) an+1 + (n + 2) an = 0 devem ser iguais a zero. Vamos igualar os coeficientes de (n^2 + 3n + 2) an+1 + (n + 2) an = 0 a zero:
Para (n + 1)(n + 2) an+1 + (n + 2) an = 0 :
(n + 1) an+1 + an = 0
Simplificando:
an+1 = -ann + 1
Fatorando:
Dividindo ambos os lados por (para , que não é o caso):
Então, a relação de recorrência é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar os coeficientes usando a relação de recorrência .
Começamos com , que é uma constante que podemos escolher livremente (normalmente assumimos para simplificar):
E assim por diante.

Passo 8

Com os coeficientes encontrados, podemos escrever a solução y1(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4 + dots como:
y1(x) = 1 - x + 12 x^2 - 16 x^3 + 124 x^4 - dots
Substituindo os valores:

Resposta

A solução y1(x) = 1 - x + 12 x^2 - 16 x^3 + 124 x^4 - dots correspondente à raiz é:

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