Considere a seguinte equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea
. Uma das raizes da equação indicial é . (a) Use o método de Frobenius para achar a solução correspondente à raíz indicada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem homogênea dada por:
Nosso objetivo é encontrar a solução usando o método de Frobenius, sabendo que uma das raízes da equação indicial é . O método de Frobenius é uma técnica para resolver equações diferenciais perto de pontos singulares, assumindo uma solução em série de potências. Vamos precisar usar esse método passo a passo para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita na forma de uma série de potências multiplicada por :
Como sabemos que , nossa solução simplifica para:
Isso significa que vamos procurar uma solução que é uma série infinita de potências de .

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas primeira e segunda de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Essas expressões vão nos ajudar a substituir na equação original.

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial:
Vamos simplificar cada termo:

Passo 5

Agora, juntamos todos os termos e ajustamos os índices para que todas as séries tenham o mesmo expoente de . Vamos reescrever cada série para facilitar:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
  1. Quarto termo:
Agora, todas as séries estão com . Vamos somá-las:

Passo 6

Para que a equação seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Vamos igualar os coeficientes de a zero:
Para :
Simplificando:
Fatorando:
Dividindo ambos os lados por (para , que não é o caso):
Então, a relação de recorrência é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar os coeficientes usando a relação de recorrência .
Começamos com , que é uma constante que podemos escolher livremente (normalmente assumimos para simplificar):
E assim por diante.

Passo 8

Com os coeficientes encontrados, podemos escrever a solução como:
Substituindo os valores:

Resposta

A solução correspondente à raiz é:

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