Considere a seguinte equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea
. Uma das raizes da equação indicial é
. (a) Use o método de Frobenius para achar a solução
correspondente à raíz indicada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem homogênea dada por:
Nosso objetivo é encontrar a solução
usando o método de Frobenius, sabendo que uma das raízes da equação indicial é
. O método de Frobenius é uma técnica para resolver equações diferenciais perto de pontos singulares, assumindo uma solução em série de potências. Vamos precisar usar esse método passo a passo para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita na forma de uma série de potências multiplicada por
:
Como sabemos que
, nossa solução simplifica para:
Isso significa que vamos procurar uma solução que é uma série infinita de potências de
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas primeira e segunda de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Essas expressões vão nos ajudar a substituir na equação original.
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Vamos simplificar cada termo:
Passo 5
Agora, juntamos todos os termos e ajustamos os índices para que todas as séries tenham o mesmo expoente de
. Vamos reescrever cada série para facilitar:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
Agora, todas as séries estão com
. Vamos somá-las:
Passo 6
Para que a equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Vamos igualar os coeficientes de
a zero:
Para
:
Simplificando:
Fatorando:
Dividindo ambos os lados por
(para
, que não é o caso):
Então, a relação de recorrência é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar os coeficientes
usando a relação de recorrência
.
Começamos com
, que é uma constante que podemos escolher livremente (normalmente assumimos
para simplificar):
E assim por diante.
Passo 8
Com os coeficientes encontrados, podemos escrever a solução
como:
Substituindo os valores:
Resposta
A solução
correspondente à raiz
é:
Exercícios relacionados
Use o método de Frobenius para resolver a seguinte equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea
e expresse as duas soluções
e
em termos de funções trigonométricas. Explique qual é a natureza da(s) singularidade(s).
A água a céu aberto a
evapora por causa do escape de algumas moléculas da superfície. O calor de vaporização (
) é aproximadamente igual a
, em que
é a energia média das moléculas que escapam e
é o número de moléculas por grama. (a) Determine
. (b) Qual é a razão entre
e a energia cinética média das moléculas de
, supondo que a segunda está relacionada à temperatura da mesma forma que nos gases?
Considere a seguinte equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea
Use a transformação de Laplace
para resolver a equação diferencial do oscilador harmônico amortecido
com
e
nos seguintes casos: (a)
(sobre-amortecido) e