Use a transformação de Laplace L para resolver a equação diferencial do oscilador harmônico amortecido
ddotx+2 lambda dotx+omega0^2 x=f(t)
com x(0)=x0 e dotx(0)=v0 nos seguintes casos: (a) omega0^2 (sobre-amortecido) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do oscilador harmônico amortecido usando a Transformada de Laplace. A equação que a gente tem é:
ddotx + 2 lambda dotx + omega0^2 x = f(t)
Com as condições iniciais e . A situação específica aqui é o caso sobre-amortecido, onde . Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e resolver para , que é a transformada de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta que transforma uma função do tempo Ldotx(t) = sX(s) - x(0) para o domínio da frequência Lddotx(t) = s^2X(s) - s x(0) - dotx(0) , facilitando a resolução de equações diferenciais. A Transformada de Laplace de uma derivada, por exemplo, é dada por:
E para a segunda derivada:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial:
Lddotx + 2 lambda Ldotx + omega0^2 Lx = Lf(t)
Substituindo as transformadas das derivadas:
[s^2X(s) - s x0 - v0] + 2 lambda [sX(s) - x0] + omega0^2 X(s) = F(s)
Onde .

Passo 4

Vamos reorganizar os termos para isolar s^2X(s) - s x0 - v0 + 2 lambda s X(s) - 2 lambda x0 + omega0^2 X(s) = F(s) :
X(s)(s^2 + 2 lambda s + omega0^2) = F(s) + s x0 + v0 + 2 lambda x0
Agrupando os termos de :

Passo 5

Agora, vamos resolver para X(s) = F(s) + s x0 + v0 + 2 lambda x0s^2 + 2 lambda s + omega0^2 :
X(s) = s x0 + v0 + 2 lambda x0s^2 + 2 lambda s + omega0^2
No caso onde (força externa nula), , então:

Passo 6

Vamos simplificar o denominador. Sabemos que no caso sobre-amortecido, s^2 + 2 lambda s + omega0^2 = (s + lambda)^2 + (omega0^2 - lambda^2) . O denominador pode ser reescrito como:
(s + lambda)^2 - (lambda^2 - omega0^2)
Mas como , podemos escrever como:
Isso nos ajuda a fatorar o denominador.

Passo 7

Agora, vamos decompor x(t) = e^-lambda t [ ( x0 + lambda x0 + v0raizlambda^2 - omega0^2 ) e^raizlambda^2 - omega0^2 t + ( x0 - lambda x0 + v0raizlambda^2 - omega0^2 ) e^-raizlambda^2 - omega0^2 t ] usando frações parciais, se necessário, e aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar . Após os cálculos, considerando as condições iniciais, a solução geral no domínio do tempo para o caso sobre-amortecido é:

Resposta

A solução para a equação diferencial do oscilador harmônico amortecido no caso sobre-amortecido é:
x(t) = e^-lambda t [ ( x0 + lambda x0 + v0raizlambda^2 - omega0^2 ) e^raizlambda^2 - omega0^2 t + ( x0 - lambda x0 + v0raizlambda^2 - omega0^2 ) e^-raizlambda^2 - omega0^2 t ]

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