Use a transformação de Laplace
para resolver a equação diferencial do oscilador harmônico amortecido
com
e
nos seguintes casos: (a)
(sobre-amortecido) e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do oscilador harmônico amortecido usando a Transformada de Laplace. A equação que a gente tem é:
Com as condições iniciais
e
. A situação específica aqui é o caso sobre-amortecido, onde
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e resolver para
, que é a transformada de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta que transforma uma função do tempo
para o domínio da frequência
, facilitando a resolução de equações diferenciais. A Transformada de Laplace de uma derivada, por exemplo, é dada por:
E para a segunda derivada:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial:
Substituindo as transformadas das derivadas:
Onde
.
Passo 4
Vamos reorganizar os termos para isolar
:
Agrupando os termos de
:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
No caso onde
(força externa nula),
, então:
Passo 6
Vamos simplificar o denominador. Sabemos que no caso sobre-amortecido,
. O denominador pode ser reescrito como:
Mas como
, podemos escrever como:
Isso nos ajuda a fatorar o denominador.
Passo 7
Agora, vamos decompor
usando frações parciais, se necessário, e aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
. Após os cálculos, considerando as condições iniciais, a solução geral no domínio do tempo para o caso sobre-amortecido é:
Resposta
A solução para a equação diferencial do oscilador harmônico amortecido no caso sobre-amortecido é: