Use a transformação de Laplace para resolver a equação diferencial do oscilador harmônico amortecido
com e nos seguintes casos: (a) (sobre-amortecido) e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do oscilador harmônico amortecido usando a Transformada de Laplace. A equação que a gente tem é:
Com as condições iniciais e . A situação específica aqui é o caso sobre-amortecido, onde . Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e resolver para , que é a transformada de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta que transforma uma função do tempo para o domínio da frequência , facilitando a resolução de equações diferenciais. A Transformada de Laplace de uma derivada, por exemplo, é dada por:
E para a segunda derivada:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial:
Substituindo as transformadas das derivadas:
Onde .
Passo 4
Vamos reorganizar os termos para isolar :
Agrupando os termos de :
Passo 5
Agora, vamos resolver para :
No caso onde (força externa nula), , então:
Passo 6
Vamos simplificar o denominador. Sabemos que no caso sobre-amortecido, . O denominador pode ser reescrito como:
Mas como , podemos escrever como:
Isso nos ajuda a fatorar o denominador.
Passo 7
Agora, vamos decompor usando frações parciais, se necessário, e aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar . Após os cálculos, considerando as condições iniciais, a solução geral no domínio do tempo para o caso sobre-amortecido é:
Resposta
A solução para a equação diferencial do oscilador harmônico amortecido no caso sobre-amortecido é: