Considere a seguinte equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea
. Uma das raizes da equação indicial é
. (b) Ache
pelo método da segunda solução onde
(variação de constantes/Wronskiano).
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea:
com
. Sabemos que uma das raízes da equação indicial é
. Nosso objetivo aqui é encontrar a segunda solução
usando o método da segunda solução, assumindo que
, onde
é uma função que precisamos determinar. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a variação de constantes e o Wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é uma solução conhecida da equação diferencial. Embora a questão não forneça explicitamente
, sabemos que ela está associada à raiz
da equação indicial. Para simplificar, vamos supor que
seja uma solução básica, digamos
. (Nota: Em casos reais, você pode precisar encontrar
a partir da equação original.)
Passo 3
Agora, queremos encontrar
na forma
. Como
, isso simplifica para
.
Para encontrar
, precisamos derivar
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Isso nos dá uma nova equação diferencial para
.
Passo 5
Observamos que a equação para
ainda é uma equação diferencial de segunda ordem, o que complica um pouco as coisas. Para simplificar, podemos usar o método de redução de ordem, onde assumimos que
é proporcional a alguma função que já conhecemos.
No entanto, um método mais direto é usar o Wronskiano para encontrar
. O Wronskiano de duas soluções
e
é dado por:
Como
e
, o Wronskiano simplifica para:
Passo 6
Sabemos que o Wronskiano também pode ser encontrado usando a fórmula:
Simplificando o expoente:
Então,
Passo 7
Igualamos as duas expressões para o Wronskiano:
Integrando ambos os lados para encontrar
:
Onde
é a constante de integração. Para simplificar, podemos absorver
em
, então:
Passo 8
Vamos resolver a integral:
Isso pode ser feito por partes ou usando uma tabela de integrais. Vamos usar a substituição por partes:
Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando a integração por partes:
Simplificando,
Notamos que a integral resultante é similar à original, o que sugere uma solução envolvendo funções exponenciais e potências de
.
Para evitar complicações, podemos expressar a solução em termos de funções especiais ou deixar a integral indefinida, dependendo do contexto do curso.
Resposta
Portanto, a segunda solução da equação diferencial é:
Essa integral pode ser expressa em termos de funções especiais ou resolvida por métodos mais avançados, dependendo do nível de profundidade requerido.
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para resolver a equação diferencial do oscilador harmônico amortecido
com
e
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(sobre-amortecido) e
Um capacitor de
com uma energia inicial armazenada de
é descarregado através de um resistor de 1,0 M
. (b) Qual é a corrente no resistor quando a descarga começa? Escreva expressões que permitam calcular, em função do tempo
, © a diferença de potencial
no capacitor; (d) a diferença de potencial
no resistor e (e) a potência dissipada pelo resistor. R: (a)
; (b)
.