Considere a seguinte equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea
. Uma das raizes da equação indicial é . (b) Ache pelo método da segunda solução onde (variação de constantes/Wronskiano).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea:
com . Sabemos que uma das raízes da equação indicial é . Nosso objetivo aqui é encontrar a segunda solução usando o método da segunda solução, assumindo que , onde é uma função que precisamos determinar. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a variação de constantes e o Wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é uma solução conhecida da equação diferencial. Embora a questão não forneça explicitamente , sabemos que ela está associada à raiz da equação indicial. Para simplificar, vamos supor que seja uma solução básica, digamos . (Nota: Em casos reais, você pode precisar encontrar a partir da equação original.)

Passo 3

Agora, queremos encontrar na forma . Como , isso simplifica para .
Para encontrar , precisamos derivar :

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial original:
Isso nos dá uma nova equação diferencial para .

Passo 5

Observamos que a equação para ainda é uma equação diferencial de segunda ordem, o que complica um pouco as coisas. Para simplificar, podemos usar o método de redução de ordem, onde assumimos que é proporcional a alguma função que já conhecemos.
No entanto, um método mais direto é usar o Wronskiano para encontrar . O Wronskiano de duas soluções e é dado por:
Como e , o Wronskiano simplifica para:

Passo 6

Sabemos que o Wronskiano também pode ser encontrado usando a fórmula:
Simplificando o expoente:
Então,

Passo 7

Igualamos as duas expressões para o Wronskiano:
Integrando ambos os lados para encontrar :
Onde é a constante de integração. Para simplificar, podemos absorver em , então:

Passo 8

Vamos resolver a integral:
Isso pode ser feito por partes ou usando uma tabela de integrais. Vamos usar a substituição por partes:
Seja e . Então, e .
Aplicando a integração por partes:
Simplificando,
Notamos que a integral resultante é similar à original, o que sugere uma solução envolvendo funções exponenciais e potências de .
Para evitar complicações, podemos expressar a solução em termos de funções especiais ou deixar a integral indefinida, dependendo do contexto do curso.

Resposta

Portanto, a segunda solução da equação diferencial é:
Essa integral pode ser expressa em termos de funções especiais ou resolvida por métodos mais avançados, dependendo do nível de profundidade requerido.

Exercícios relacionados

Considere a seguinte equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea
. Uma das raizes da equação indicial é . (a) Use o método de Frobenius para achar a solução correspondente à raíz indicada.
Use o método de Frobenius para resolver a seguinte equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea
e expresse as duas soluções e em termos de funções trigonométricas. Explique qual é a natureza da(s) singularidade(s).
Use a transformação de Laplace para resolver a equação diferencial do oscilador harmônico amortecido
com e nos seguintes casos: (a) (sobre-amortecido) e
Um capacitor de com uma energia inicial armazenada de é descarregado através de um resistor de 1,0 M . (b) Qual é a corrente no resistor quando a descarga começa? Escreva expressões que permitam calcular, em função do tempo , © a diferença de potencial no capacitor; (d) a diferença de potencial no resistor e (e) a potência dissipada pelo resistor. R: (a) ; (b) .