Use o método de Frobenius para resolver a seguinte equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea
4 x y^prime prime+2 y^prime+y=0
e expresse as duas soluções y1 e y2 em termos de funções trigonométricas. Explique qual é a natureza da(s) singularidade(s).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando o método de Frobenius. A equação que temos é:
4x y'' + 2 y' + y = 0
Esse tipo de problema está dentro do estudo das equações diferenciais ordinárias, especificamente tratando de soluções em torno de pontos singulares. Vamos precisar aplicar o método de Frobenius, que é ótimo para encontrar soluções em séries de potências, especialmente quando a equação tem singularidades.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão para aplicar o método de Frobenius. Dividimos toda a equação por 4x para simplificar:
y'' + 24x y' + 14x y = 0 Rightarrow y'' + 12x y' + 14x y = 0

Passo 3

Agora, identificamos os coeficientes da equação:
P(x) = 12x, Q(x) = 14x
Para usar o método de Frobenius, precisamos encontrar a singularidade da equação. Vemos que os coeficientes têm x no denominador, o que indica uma singularidade em x = 0.

Passo 4

Determinar o ponto de singularidade é crucial. Aqui, x=0 é uma singularidade regular porque:
  • (x - x0) P(x) = x cdot 12x = 12, que é analítico em x=0.
  • (x - x0)^2 Q(x) = x^2 cdot 14x = x4, que também é analítico em x=0.

Passo 5

Com isso, sabemos que podemos aplicar o método de Frobenius. Procuramos uma solução na forma de série de potências:
y(x) = x^r sumn=0^infty an x^n
Onde r é o índice que determina a natureza da solução.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de y(x):
y' = sumn=0^infty (n + r) an x^n + r -1 y'' = sumn=0^infty (n + r)(n + r -1) an x^n + r -2

Passo 7

Substituindo y, y' e y'' na equação original:
y'' + 12x y' + 14x y = 0 sumn=0^infty (n + r)(n + r -1) an x^n + r -2 + 12x sumn=0^infty (n + r) an x^n + r -1 + 14x sumn=0^infty an x^n + r = 0

Passo 8

Simplificando os termos:
sumn=0^infty (n + r)(n + r -1) an x^n + r -2 + sumn=0^infty 12 (n + r) an x^n + r -2 + sumn=0^infty 14 an x^n + r -2 = 0

Passo 9

Agrupando os termos semelhantes:
sumn=0^infty [ (n + r)(n + r -1) + 12(n + r) + 14 ] an x^n + r -2 = 0

Passo 10

Para que essa igualdade valha para todo x, os coeficientes de cada potência de x devem ser zero. Assim, temos a equação indicial:
(n + r)(n + r -1) + 12(n + r) + 14 = 0
Para n=0:
r(r -1) + 12 r + 14 = 0 Rightarrow r^2 - r + 12 r + 14 = r^2 - 12 r + 14 = 0

Passo 11

Resolvendo a equação quadrática para r:
r = 12 pm raiz ( 12 )^2 - 4 cdot 1 cdot 14 2 = 12 pm raiz 14 - 1 2 = 12 pm raiz -34 2 = 14 pm i raiz34
Então, os valores de r são complexos conjugados.

Passo 12

Como temos raízes complexas na equação indicial, as soluções serão expressas em termos de funções trigonométricas. As soluções gerais são da forma:
y(x) = x^alpha [ C1 cos(beta ln x) + C2 sin(beta ln x) ]
Onde alpha = 14 e beta = raiz34.

Passo 13

Portanto, as duas soluções são:
y1(x) = x^14 cos( raiz34 ln x ) y2(x) = x^14 sin( raiz34 ln x )

Resposta

As duas soluções da equação diferencial são:
y1(x) = x^14 cos( raiz34 ln x )
y2(x) = x^14 sin( raiz34 ln x )
A singularidade em x=0 é uma singularidade regular, pois os coeficientes da equação diferencial satisfazem as condições necessárias para que o método de Frobenius seja aplicável, permitindo soluções em termos de séries de potências multiplicadas por funções trigonométricas.

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