Use o método de Frobenius para resolver a seguinte equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea
e expresse as duas soluções e em termos de funções trigonométricas. Explique qual é a natureza da(s) singularidade(s).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando o método de Frobenius. A equação que temos é:
Esse tipo de problema está dentro do estudo das equações diferenciais ordinárias, especificamente tratando de soluções em torno de pontos singulares. Vamos precisar aplicar o método de Frobenius, que é ótimo para encontrar soluções em séries de potências, especialmente quando a equação tem singularidades.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão para aplicar o método de Frobenius. Dividimos toda a equação por 4x para simplificar:

Passo 3

Agora, identificamos os coeficientes da equação:
Para usar o método de Frobenius, precisamos encontrar a singularidade da equação. Vemos que os coeficientes têm no denominador, o que indica uma singularidade em .

Passo 4

Determinar o ponto de singularidade é crucial. Aqui, é uma singularidade regular porque:
  • , que é analítico em .
  • , que também é analítico em .

Passo 5

Com isso, sabemos que podemos aplicar o método de Frobenius. Procuramos uma solução na forma de série de potências:
Onde é o índice que determina a natureza da solução.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 7

Substituindo , e na equação original:

Passo 8

Simplificando os termos:

Passo 9

Agrupando os termos semelhantes:

Passo 10

Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero. Assim, temos a equação indicial:
Para :

Passo 11

Resolvendo a equação quadrática para :
Então, os valores de são complexos conjugados.

Passo 12

Como temos raízes complexas na equação indicial, as soluções serão expressas em termos de funções trigonométricas. As soluções gerais são da forma:
Onde e .

Passo 13

Portanto, as duas soluções são:

Resposta

As duas soluções da equação diferencial são:
A singularidade em é uma singularidade regular, pois os coeficientes da equação diferencial satisfazem as condições necessárias para que o método de Frobenius seja aplicável, permitindo soluções em termos de séries de potências multiplicadas por funções trigonométricas.

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