Considere a seguinte equação diferencial:
Classifique-a quanto à singularidade em . Se for um ponto singular regular, então use o método de Frobenius para encontrar pelo menos uma solução na expansão em série em torno de .
[OBSERVAÇÃO: tente expressar uma fórmula geral para os coeficientes da série. Valor extra

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a seguinte equação diferencial:
Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Precisamos classificar o ponto para ver se ele é um ponto singular regular. Se for, vamos usar o método de Frobenius para encontrar uma solução em série em torno desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão, ou seja, isolando :
Simplificando, temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se é um ponto singular. Um ponto é ordem regular se a função que multiplica não se anula nesse ponto. Aqui, a função que multiplica é . Avaliando em :
Como deu zero, é um ponto singular.

Passo 4

Para saber se é um ponto singular regular, precisamos verificar duas condições:
  1. deve ser analítica em .
  2. também deve ser analítica em .
Onde:
Calculando:
  1. — é constante e, portanto, analítica.
  2. — também é analítica.
Como as duas condições são satisfeitas, é um ponto singular regular.

Passo 5

Agora que sabemos que é um ponto singular regular, podemos usar o método de Frobenius para encontrar uma solução em série.
Assumimos uma solução da forma:
Vamos derivar :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando cada termo:
Reagrupando termos e igualando aos coeficientes de a zero, obtemos a seguinte relação de recorrência para os coeficientes :
Essa é a fórmula geral para os coeficientes da série.

Resposta

A equação diferencial possui um ponto singular regular em . Usando o método de Frobenius, encontramos uma solução na forma de série:
com os coeficientes dados por:

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[OBSERVAÇÃO: tente expressar uma fórmula geral para os coeficientes da série. Valor extra ]
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