Considere a seguinte equação diferencial:
Classifique-a quanto à singularidade em
. Se
for um ponto singular regular, então use o método de Frobenius para encontrar pelo menos uma solução na expansão em série em torno de
.
[OBSERVAÇÃO: tente expressar uma fórmula geral para os coeficientes da série. Valor extra
[OBSERVAÇÃO: tente expressar uma fórmula geral para os coeficientes da série. Valor extra
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a seguinte equação diferencial:
Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Precisamos classificar o ponto
para ver se ele é um ponto singular regular. Se for, vamos usar o método de Frobenius para encontrar uma solução em série em torno desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão, ou seja, isolando
:
Simplificando, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é um ponto singular. Um ponto é ordem regular se a função que multiplica
não se anula nesse ponto. Aqui, a função que multiplica
é
. Avaliando em
:
Como deu zero,
é um ponto singular.
Passo 4
Para saber se é um ponto singular regular, precisamos verificar duas condições:
-
deve ser analítica em . -
também deve ser analítica em .
Onde:
Calculando:
-
— é constante e, portanto, analítica. -
— também é analítica.
Como as duas condições são satisfeitas,
é um ponto singular regular.
Passo 5
Agora que sabemos que
é um ponto singular regular, podemos usar o método de Frobenius para encontrar uma solução em série.
Assumimos uma solução da forma:
Vamos derivar
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando cada termo:
Reagrupando termos e igualando aos coeficientes de
a zero, obtemos a seguinte relação de recorrência para os coeficientes
:
Essa é a fórmula geral para os coeficientes da série.
Resposta
A equação diferencial possui um ponto singular regular em
. Usando o método de Frobenius, encontramos uma solução na forma de série:
com os coeficientes dados por:
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