Usando o método das séries de potências, resolva o PVI abaixo:
[OBSERVAÇÃO: tente expressar uma fórmula geral para os coeficientes da série. Valor extra ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando o método das séries de potências! A gente tem a seguinte equação:
Aqui, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como aplicá-las para resolver equações diferenciais. Basicamente, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série infinita e encontrar os coeficientes dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser expressa como uma série de potências em torno de :
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Vamos também expandir a função como uma série de potências. Sabemos que:

Passo 5

Substituindo e na equação diferencial, temos:

Passo 6

Vamos multiplicar as duas séries na segunda parte:
Aqui, .

Passo 7

Agora, reescrevemos a equação completa:
Vamos ajustar os índices para que todas as séries tenham :

Passo 8

Como a soma total é igual a zero para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Isso nos dá a relação de recorrência:

Passo 9

Vamos usar a condição inicial para encontrar :

Passo 10

Agora, podemos usar a relação de recorrência para encontrar os demais coeficientes :

Passo 11

Para expressar uma fórmula geral para os coeficientes, observamos que cada depende dos coeficientes anteriores de acordo com a relação de recorrência encontrada. Portanto, a solução geral em série é:
onde os coeficientes são definidos por:

Resposta

A solução da equação diferencial por séries de potências é:
onde os coeficientes são dados por:
Com .

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Usando o método das séries de potências, resolva o PVI abaixo:
[OBSERVAÇÃO: tente expressar uma fórmula geral para os coeficientes da série. Valor extra
Considere a seguinte equação diferencial:
Classifique-a quanto à singularidade em . Se for um ponto singular regular, então use o método de Frobenius para encontrar pelo menos uma solução na expansão em série em torno de .
[OBSERVAÇÃO: tente expressar uma fórmula geral para os coeficientes da série. Valor extra