Usando o método das séries de potências, resolva o PVI abaixo:
[OBSERVAÇÃO: tente expressar uma fórmula geral para os coeficientes da série. Valor extra
]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando o método das séries de potências! A gente tem a seguinte equação:
Aqui, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como aplicá-las para resolver equações diferenciais. Basicamente, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série infinita e encontrar os coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser expressa como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
:
Passo 4
Vamos também expandir a função
como uma série de potências. Sabemos que:
Passo 5
Substituindo
e
na equação diferencial, temos:
Passo 6
Vamos multiplicar as duas séries na segunda parte:
Aqui,
.
Passo 7
Agora, reescrevemos a equação completa:
Vamos ajustar os índices para que todas as séries tenham
:
Passo 8
Como a soma total é igual a zero para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Isso nos dá a relação de recorrência:
Passo 9
Vamos usar a condição inicial
para encontrar
:
Passo 10
Agora, podemos usar a relação de recorrência para encontrar os demais coeficientes
:
Passo 11
Para expressar uma fórmula geral para os coeficientes, observamos que cada
depende dos coeficientes anteriores de acordo com a relação de recorrência encontrada. Portanto, a solução geral em série é:
onde os coeficientes
são definidos por:
Resposta
A solução da equação diferencial por séries de potências é:
onde os coeficientes
são dados por:
Com
.
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[OBSERVAÇÃO: tente expressar uma fórmula geral para os coeficientes da série. Valor extra
Classifique-a quanto à singularidade em
. Se
for um ponto singular regular, então use o método de Frobenius para encontrar pelo menos uma solução na expansão em série em torno de
.
[OBSERVAÇÃO: tente expressar uma fórmula geral para os coeficientes da série. Valor extra
[OBSERVAÇÃO: tente expressar uma fórmula geral para os coeficientes da série. Valor extra