Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais duplas, que são usadas para encontrar volumes sob superfícies em duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e como aplicar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a . Isso significa que tratamos como uma constante enquanto integramos em . A integral que vamos resolver primeiro é:
A integral de em relação a é , onde é uma constante.

Passo 3

Aplicando essa regra, temos:
Agora, vamos avaliar essa expressão de até :

Passo 4

Agora, nossa integral dupla se transforma em uma integral simples em relação a :
Esse tipo de integral envolve a função exponencial dividida por , que nos leva a considerar uma expansão em série para facilitar a integração.

Passo 5

Vamos expandir em série de potências:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por :

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
A integral de de 0 a 1 é , então:

Passo 7

Reconhecendo que , podemos reescrever a soma:
Aqui, usamos a série da expansão de , que é .

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é:

Exercícios relacionados

Considere a seguinte equação diferencial:
Classifique-a quanto à singularidade em . Se for um ponto singular regular, então use o método de Frobenius para encontrar pelo menos uma solução na expansão em série em torno de .
[OBSERVAÇÃO: tente expressar uma fórmula geral para os coeficientes da série. Valor extra