integral0^1 integral0^1 e^x y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais duplas, que são usadas para encontrar volumes sob superfícies em duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e como aplicar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^1 e^x y , dx . Isso significa que tratamos como uma constante enquanto integramos em . A integral que vamos resolver primeiro é:
A integral de em relação a é , onde é uma constante.

Passo 3

Aplicando essa regra, temos:
integral e^x y , dx = 1y e^x y + C
Agora, vamos avaliar essa expressão de 1y e^x y |0^1 = 1y e^y - 1y e^0 = e^y - 1y até :

Passo 4

Agora, nossa integral dupla se transforma em uma integral simples em relação a integral0^1 e^y - 1y , dy :
Esse tipo de integral envolve a função exponencial dividida por , que nos leva a considerar uma expansão em série para facilitar a integração.

Passo 5

Vamos expandir e^y = sumn=0^infty y^nn! em série de potências:
e^y - 1 = sumn=1^infty y^nn!
Subtraindo 1 de ambos os lados:
e^y - 1y = sumn=1^Infinity y^n-1n!
Dividindo por :

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
integral0^1 e^y - 1y , dy = sumn=1^infty 1n! integral0^1 y^n-1 , dy
A integral de sumn=1^infty 1n! cdot 1n = sumn=1^infty 1n cdot n! de 0 a 1 é , então:

Passo 7

Reconhecendo que sumn=1^infty 1(n+1)! = sumk=2^infty 1k! = e - (1 + 1) = e - 2 , podemos reescrever a soma:
Aqui, usamos a série da expansão de , que é .

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é:
e - 2

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