Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais duplas, que são usadas para encontrar volumes sob superfícies em duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e como aplicar a ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a . Isso significa que tratamos como uma constante enquanto integramos em . A integral que vamos resolver primeiro é:
A integral de em relação a é , onde é uma constante.
Passo 3
Aplicando essa regra, temos:
Agora, vamos avaliar essa expressão de até :
Passo 4
Agora, nossa integral dupla se transforma em uma integral simples em relação a integral0^1 e^y - 1y , dy :
Esse tipo de integral envolve a função exponencial dividida por , que nos leva a considerar uma expansão em série para facilitar a integração.
Passo 5
Vamos expandir e^y = sumn=0^infty y^nn! em série de potências:
e^y - 1 = sumn=1^infty y^nn!
Subtraindo 1 de ambos os lados:
e^y - 1y = sumn=1^Infinity y^n-1n!
Dividindo por :
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
integral0^1 e^y - 1y , dy = sumn=1^infty 1n! integral0^1 y^n-1 , dy
A integral de sumn=1^infty 1n! cdot 1n = sumn=1^infty 1n cdot n! de 0 a 1 é , então:
Passo 7
Reconhecendo que sumn=1^infty 1(n+1)! = sumk=2^infty 1k! = e - (1 + 1) = e - 2 , podemos reescrever a soma: