integral0^2 integralx^2 e^x y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e como lidar com os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integração interna, que é a integral em relação a . Isso significa que vamos tratar como uma constante enquanto integramos em .

Passo 3

A função que vamos integrar é integral e^x y , dy = e^x yx + C . A integral de em relação a é . Então, temos:
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante de integração .

Passo 4

Agora, aplicamos os limites da integral interna, que vão de e^x yx |y=x^y=2 = e^2xx - e^x cdot xx = e^2x - e^x^2x até :

Passo 5

Agora, temos que integrar o resultado em relação a integral0^2 e^2x - e^x^2x , dx , de integral0^2 e^2xx , dx - integral0^2 e^x^2x , dx a :
Essa integral pode ser dividida em duas partes:

Passo 6

A primeira integral, , não tem uma solução em termos de funções elementares, mas podemos reconhecê-la como uma função especial conhecida como a função Exponencial Integral, denotada por .
A segunda integral, , também não pode ser expressa em termos de funções elementares padrão.

Passo 7

Portanto, a integral original é expressa em termos dessas funções especiais:
Ei(2x) g|0^2 - 12 ( e^x^2 ) g|0^2

Resposta

A integral dupla Ei(4) - Ei(0) - 12 (e^4 - 1) não pode ser expressa em termos de funções elementares padrão e é representada usando funções especiais como a função Exponencial Integral . Portanto, a solução final é:

Exercícios relacionados