Considere a seguinte equação diferencial
y^4 + (2 x y^4 + e^(3 y)) dy/dx = 0
Ela não é exata, mas tem um fator integrante mu(y). Encontre a equação diferencial para determinar mu(y). Resolva a equação diferencial obtida. Qual das expressões a seguir representa a solução geral da equação diferencial que você obteve para mu(y) ?
a mu(y) = c * e^(-3 * y) / y^2.
(e) mu(y) = c * e^(-4 * y) / y^2.
quadrado mu(y) = c * e^(2y) / y^4.
f mu(y) = c * e^(-2 * y) / y^4.
c. mu(y) = c * e^(3y) / y^2.
g mu(y) = c * e^(2*y) / y^(3).
d mu(y) = c * e^(-2 * y) / y^3.
h mu(y) = c * e^(4*y) / y^(2).

Passo 1

Beleza, então temos uma equação diferencial que não é exata inicialmente. O enunciado pede para encontrar um fator integrante que, quando multiplicado na equação, a torna exata. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e como determinar o fator que falta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada de uma forma mais familiar. A equação é:
Podemos reorganizar isso para ficar na forma padrão:
onde
e

Passo 3

Uma equação diferencial na forma é exata se satisfaz a condição:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando as derivadas:
Como , a equação não é exata.

Passo 5

Agora, vamos procurar um fator integrante que depende apenas de . Para isso, a condição que deve satisfazer é:
Substituindo os valores que encontramos:
Para simplificar, observamos que depende apenas de , então a expressão deve se simplificar independentemente de . Isso nos leva a uma equação diferencial mais simples para .

Passo 6

Resolva a equação diferencial para . Após simplificar, chegamos a:
onde é uma constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial para o fator integrante é:
Portanto, a alternativa correta é a letra e.

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