Considere a seguinte equação diferencial
Ela não é exata, mas tem um fator integrante
. Encontre a equação diferencial para determinar
. Resolva a equação diferencial obtida. Qual das expressões a seguir representa a solução geral da equação diferencial que você obteve para
?
a
.
(e)
.
.
f
.
c.
.
g
.
d
.
h
.
a
(e)
f
c.
g
d
h
Passo 1
Beleza, então temos uma equação diferencial que não é exata inicialmente. O enunciado pede para encontrar um fator integrante
que, quando multiplicado na equação, a torna exata. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e como determinar o fator que falta.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada de uma forma mais familiar. A equação é:
Podemos reorganizar isso para ficar na forma padrão:
onde
e
Passo 3
Uma equação diferencial na forma
é exata se satisfaz a condição:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Como
, a equação não é exata.
Passo 5
Agora, vamos procurar um fator integrante
que depende apenas de
. Para isso, a condição que
deve satisfazer é:
Substituindo os valores que encontramos:
Para simplificar, observamos que
depende apenas de
, então a expressão deve se simplificar independentemente de
. Isso nos leva a uma equação diferencial mais simples para
.
Passo 6
Resolva a equação diferencial para
. Após simplificar, chegamos a:
onde
é uma constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial para o fator integrante
é:
Portanto, a alternativa correta é a letra e.
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