Considere a seguinte equação diferencial,
Encontre a solução geral para equação.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial que envolve funções de
e
. O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, expressar
em função de
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, como reescrever a equação na forma padrão e, possivelmente, encontrar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar os termos de
e os demais termos. A equação dada é:
Vamos organizar os termos para ficar mais claro:
Agora, isolamos
:
Passo 3
Observando a forma da equação, vemos que ela não está facilmente separável nem é uma equação linear padrão. Vamos verificar se ela é exata. Para isso, vamos reescrever a equação na forma:
Onde:
Uma equação é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
Derivando em relação a
:
Calculando
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Comparando as duas derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 6
Vamos encontrar a função
integrando
em relação a
:
Onde
é uma função arbitrária de
.
Integramos
:
A integral de
em relação a
é:
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Calculando a derivada:
Igualando a
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 8
Integrando
, encontramos
:
Onde
é a constante de integração.
Então, a função
fica:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial exata é dada por
. Assim, temos:
Podemos reescrever essa expressão para deixar mais claro:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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