Considere a seguinte equação diferencial,
Encontre a solução geral para equação.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial que envolve funções de e . O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, expressar em função de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, como reescrever a equação na forma padrão e, possivelmente, encontrar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar os termos de e os demais termos. A equação dada é:
Vamos organizar os termos para ficar mais claro:
Agora, isolamos :

Passo 3

Observando a forma da equação, vemos que ela não está facilmente separável nem é uma equação linear padrão. Vamos verificar se ela é exata. Para isso, vamos reescrever a equação na forma:
Onde:
Uma equação é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando :
Derivando em relação a :
Calculando :
Derivando em relação a :

Passo 5

Comparando as duas derivadas parciais:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 6

Vamos encontrar a função integrando em relação a :
Onde é uma função arbitrária de .
Integramos :
A integral de em relação a é:

Passo 7

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Calculando a derivada:
Igualando a :
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 8

Integrando , encontramos :
Onde é a constante de integração.
Então, a função fica:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial exata é dada por . Assim, temos:
Podemos reescrever essa expressão para deixar mais claro:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .
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