Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função utilizando a primeira derivada. Isso envolve encontrar onde a função é crescente ou decrescente e identificar os pontos onde há máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar os seus sinais.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada da função . A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função em relação a .

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, ou seja, onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa, igualamos a derivada a zero:
Podemos fatorar essa equação:
Então, as soluções são:

Passo 4

Com os pontos críticos em mãos, vamos determinar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente. Para isso, escolhemos valores de em cada intervalo definido pelos pontos críticos e analisamos o sinal da derivada:
  1. Para , por exemplo, :
Então, a função é decrescente nesse intervalo.
  1. Para , por exemplo, :
Então, a função é crescente nesse intervalo.
  1. Para , por exemplo, :
Então, a função continua crescente nesse intervalo.

Passo 5

Agora, identificamos os pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa:
  • Em , a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
  • Em , a derivada permanece positiva antes e depois, então não há máximo ou mínimo nesse ponto.
Vamos calcular o valor da função nesses pontos críticos:
Para :
Para :

Resposta

A função é decrescente para , crescente para . Possui um mínimo local em com valor . Não há máximos locais. O gráfico apresenta crescimento para e decrescimento para .

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Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .
Considere a seguinte equação diferencial,
Encontre a solução geral para equação.
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. A função , sendo um polinômio de grau, corta o eixo (por quê?) e portanto tem pelo menos uma raiz. Examinando , mostre que essa função tem somente uma raiz. Mostre analogamente que tem uma e somente uma raiz.