Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função
utilizando a primeira derivada. Isso envolve encontrar onde a função é crescente ou decrescente e identificar os pontos onde há máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar os seus sinais.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função em relação a
.
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, ou seja, onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa, igualamos a derivada a zero:
Podemos fatorar essa equação:
Então, as soluções são:
Passo 4
Com os pontos críticos em mãos, vamos determinar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente. Para isso, escolhemos valores de
em cada intervalo definido pelos pontos críticos e analisamos o sinal da derivada:
- Para
, por exemplo, :
Então, a função é decrescente nesse intervalo.
- Para
, por exemplo, :
Então, a função é crescente nesse intervalo.
- Para
, por exemplo, :
Então, a função continua crescente nesse intervalo.
Passo 5
Agora, identificamos os pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa:
- Em
, a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local. - Em
, a derivada permanece positiva antes e depois, então não há máximo ou mínimo nesse ponto.
Vamos calcular o valor da função nesses pontos críticos:
Para
:
Para
:
Resposta
A função
é decrescente para
, crescente para
. Possui um mínimo local em
com valor
. Não há máximos locais. O gráfico apresenta crescimento para
e decrescimento para
.
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Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
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Considere a seguinte equação diferencial,
Encontre a solução geral para equação.
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
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Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. A função
, sendo um polinômio de
grau, corta o eixo
(por quê?) e portanto tem pelo menos uma raiz. Examinando
, mostre que essa função tem somente uma raiz. Mostre analogamente que
tem uma e somente uma raiz.