Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .

Passo 1

Ok, vamos resolver o exercício que pede para esboçarmos o gráfico da função usando a primeira derivada. O objetivo é encontrar os intervalos em que a função está crescendo ou decrescendo e identificar os pontos de máximo ou mínimo. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função, ou seja, como ela está crescendo ou diminuindo.
A derivada de em relação a é:
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. Nesse caso, a derivada é um polinômio, então ela existe para todos os valores de . Portanto, precisamos resolver a equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Essa equação é um quadrado perfeito e pode ser fatorada como:
Então, temos uma única solução:

Passo 4

Com o ponto crítico encontrado, vamos analisar o sinal da derivada antes e depois desse ponto para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
  • Para , escolhemos :
    A derivada é positiva, então a função está crescendo nesse intervalo.
  • Para , escolhemos :
    A derivada também é positiva, então a função continua crescendo nesse intervalo.

Passo 5

Como a derivada é positiva tanto para quanto para , a função não muda de comportamento em . Isso significa que não é um ponto de máximo ou mínimo, mas sim um ponto de inflexão, onde a concavidade da função muda.

Passo 6

Agora, vamos resumir os intervalos de crescimento e decrescimento:
  • Crescente: Para todo , já que a derivada é sempre positiva.
  • Decrescente: Não há intervalos onde a função é decrescente.
Quanto aos pontos de máximo ou mínimo, não existem nesses intervalos, apenas um ponto de inflexão em .

Resposta

A função está crescendo para todo o valor de , não possui intervalos de decrescimento e não apresenta pontos de máximo ou mínimo. Há um ponto de inflexão em .

Exercícios relacionados

Considere a seguinte equação diferencial,
Encontre a solução geral para equação.
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem. .