Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
.
Passo 1
Ok, vamos resolver o exercício que pede para esboçarmos o gráfico da função
usando a primeira derivada. O objetivo é encontrar os intervalos em que a função está crescendo ou decrescendo e identificar os pontos de máximo ou mínimo. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva ou negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função, ou seja, como ela está crescendo ou diminuindo.
A derivada de
em relação a
é:
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada
é igual a zero ou não existe. Nesse caso, a derivada é um polinômio, então ela existe para todos os valores de
. Portanto, precisamos resolver a equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Essa equação é um quadrado perfeito e pode ser fatorada como:
Então, temos uma única solução:
Passo 4
Com o ponto crítico
encontrado, vamos analisar o sinal da derivada antes e depois desse ponto para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
-
Para
, escolhemos : A derivada é positiva, então a função está crescendo nesse intervalo. -
Para
, escolhemos : A derivada também é positiva, então a função continua crescendo nesse intervalo.
Passo 5
Como a derivada
é positiva tanto para
quanto para
, a função não muda de comportamento em
. Isso significa que
não é um ponto de máximo ou mínimo, mas sim um ponto de inflexão, onde a concavidade da função muda.
Passo 6
Agora, vamos resumir os intervalos de crescimento e decrescimento:
- Crescente: Para todo
, já que a derivada é sempre positiva. - Decrescente: Não há intervalos onde a função é decrescente.
Quanto aos pontos de máximo ou mínimo, não existem nesses intervalos, apenas um ponto de inflexão em
.
Resposta
A função
está crescendo para todo o valor de
, não possui intervalos de decrescimento e não apresenta pontos de máximo ou mínimo. Há um ponto de inflexão em
.
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Considere a seguinte equação diferencial,
Encontre a solução geral para equação.
Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
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Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
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