Esboce os gráficos da seguintes funções, utilizando a primeira derivada e os métodos dessa seçāo; em particular, determine os intervalos em que cada função é crescente e aqueles em que é decrescente e localize todos os valores máximos ou mínimos que existirem.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar a primeira derivada, que faz parte do estudo de cálculo diferencial. A ideia é determinar onde a função está crescendo ou decrescendo e encontrar seus máximos e mínimos. Vamos precisar calcular a derivada dessa função e analisar seus sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em relação a
.
A derivada de
em relação a
é:
Calculando cada termo:
Então, a derivada fica:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde a derivada é igual a zero. Esses pontos podem corresponder a máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Igualando a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Então,
é o ponto crítico.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos analisar o sinal da derivada antes e depois de
.
-
Para
: Vamos escolher . Isso significa que a função está decrescendo nesse intervalo. -
Para
: Vamos escolher . Isso indica que a função está crescendo nesse intervalo.
Então, em
, a função muda de decrescente para crescente, o que caracteriza um mínimo local nesse ponto.
Passo 5
Vamos encontrar o valor de
no ponto crítico
:
Então, o ponto mínimo é
.
Passo 6
Agora, resumindo o que vimos:
- Intervalos de crescimento:
- Intervalos de decrescimento:
- Mínimo local:
Resposta
A função
está decrescendo para
, crescendo para
e possui um mínimo local em
. O gráfico é uma parábola com concavidade para cima, alcançando seu ponto mais baixo em
.
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Considere a seguinte equação diferencial,
Encontre a solução geral para equação.
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