Considere a seguinte equação diferencial
Determine duas soluções linearmente independentes em série de potencias de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial de segunda ordem usando séries de potências centradas em
. Isso significa que vamos procurar soluções que podem ser expressas como somas de potências de
. Para fazer isso, precisamos entender como trabalhar com séries de potências e como aplicá-las em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma mudança de variável. Vamos definir
, assim
. Isso ajuda a centralizar a série em
, facilitando os cálculos.
A equação original é:
Substituindo
:
Passo 3
Agora, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Derivando termo a termo, temos:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Para facilitar, vamos alinhar os índices das somas:
Agora, combinamos todas as somas:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, cada coeficiente de
deve ser zero:
Passo 6
Essa é a nossa relação de recorrência. Agora, precisamos encontrar os coeficientes
. Vamos determinar os primeiros termos:
Para
:
(Observação:
e
são zero porque não existem termos com índices negativos.)
Para
:
Simplificando:
Passo 7
Continuando com
:
Simplificando:
Passo 8
Podemos continuar esse processo para encontrar todos os coeficientes
em termos de
e
. Como a equação diferencial é de segunda ordem, precisaríamos de duas soluções linearmente independentes, o que geralmente correspondem às escolhas diferentes para
e
.
Passo 9
Portanto, duas soluções linearmente independentes podem ser encontradas escolhendo:
-
, -
,
Cada escolha levará a uma solução distinta da equação diferencial.
Resposta
Duas soluções linearmente independentes em série de potências de
são:
Essas séries podem ser expandidas conforme a relação de recorrência encontrada para obter os termos desejados.