Considere a seguinte equação diferencial
y'' + (x - 1)² y' + (x² - 1) y = 0
Determine duas soluções linearmente independentes em série de potencias de x - 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial de segunda ordem usando séries de potências centradas em . Isso significa que vamos procurar soluções que podem ser expressas como somas de potências de . Para fazer isso, precisamos entender como trabalhar com séries de potências e como aplicá-las em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma mudança de variável. Vamos definir , assim . Isso ajuda a centralizar a série em , facilitando os cálculos.
A equação original é:
Substituindo :

Passo 3

Agora, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Derivando termo a termo, temos:

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Para facilitar, vamos alinhar os índices das somas:
Agora, combinamos todas as somas:
Para que essa igualdade seja válida para todo , cada coeficiente de deve ser zero:

Passo 6

Essa é a nossa relação de recorrência. Agora, precisamos encontrar os coeficientes . Vamos determinar os primeiros termos:
Para :
(Observação: e são zero porque não existem termos com índices negativos.)
Para :
Simplificando:

Passo 7

Continuando com :
Simplificando:

Passo 8

Podemos continuar esse processo para encontrar todos os coeficientes em termos de e . Como a equação diferencial é de segunda ordem, precisaríamos de duas soluções linearmente independentes, o que geralmente correspondem às escolhas diferentes para e .

Passo 9

Portanto, duas soluções linearmente independentes podem ser encontradas escolhendo:
  1. ,
  2. ,
Cada escolha levará a uma solução distinta da equação diferencial.

Resposta

Duas soluções linearmente independentes em série de potências de são:
Essas séries podem ser expandidas conforme a relação de recorrência encontrada para obter os termos desejados.

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