Encontre uma solução particular para a equação diferencial dada, utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar uma solução particular da equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é útil quando o lado direito da equação (chamado de força motriz) é uma combinação de funções que a equação homogênea associada pode lidar facilmente, como polinômios, exponenciais, senos e cossenos. Vamos precisar conhecer um pouquinho sobre equações diferenciais lineares e como fazer suposições informadas para encontrar essa solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
. Aqui,
é a segunda derivada de
em relação a
,
é a primeira derivada, e
é a função que queremos encontrar. A parte da direita,
, é a forçante que está “empurrando” o sistema.
Passo 3
O método dos coeficientes indeterminados funciona melhor quando a forçante é uma combinação de funções que já sabemos como tratar. No nosso caso, temos duas partes na forçante: um polinômio de primeiro grau (
) e uma exponencial (
). Vamos lidar com cada uma delas separadamente e depois juntar os resultados.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar uma solução particular para o polinômio
. Para isso, fazemos uma suposição sobre a forma que essa solução pode ter. Como é um polinômio de primeiro grau, nossa suposição será da forma
, onde
e
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 5
Agora, vamos derivar
para encontrar
e
:
Substituindo essas derivadas na equação diferencial original:
Simplificando:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Então, a solução particular para
é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte exponencial
. Novamente, fazemos uma suposição baseada na forma da forçante. Como temos
, nossa suposição será
, onde
e
são coeficientes a serem determinados.
Passo 7
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Substituindo
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando:
Agrupando os termos similares:
Portanto:
Isso nos dá o sistema de equações:
Então, a solução particular para
é:
Passo 8
Finalmente, juntamos as soluções particulares encontradas para cada parte da forçante. Assim, a solução particular geral é:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é: