Encontre uma solução particular para a equação diferencial dada, utilizando o método dos coeficientes indeterminados. y'' + 3y' + 2y = 3t + 10e^(3t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar uma solução particular da equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é útil quando o lado direito da equação (chamado de força motriz) é uma combinação de funções que a equação homogênea associada pode lidar facilmente, como polinômios, exponenciais, senos e cossenos. Vamos precisar conhecer um pouquinho sobre equações diferenciais lineares e como fazer suposições informadas para encontrar essa solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada: . Aqui, é a segunda derivada de em relação a , é a primeira derivada, e é a função que queremos encontrar. A parte da direita, , é a forçante que está “empurrando” o sistema.

Passo 3

O método dos coeficientes indeterminados funciona melhor quando a forçante é uma combinação de funções que já sabemos como tratar. No nosso caso, temos duas partes na forçante: um polinômio de primeiro grau ( ) e uma exponencial ( ). Vamos lidar com cada uma delas separadamente e depois juntar os resultados.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar uma solução particular para o polinômio . Para isso, fazemos uma suposição sobre a forma que essa solução pode ter. Como é um polinômio de primeiro grau, nossa suposição será da forma , onde e são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 5

Agora, vamos derivar para encontrar e :
Substituindo essas derivadas na equação diferencial original:
Simplificando:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Então, a solução particular para é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte exponencial . Novamente, fazemos uma suposição baseada na forma da forçante. Como temos , nossa suposição será , onde e são coeficientes a serem determinados.

Passo 7

Vamos derivar para encontrar e :
Substituindo , e na equação diferencial original:
Simplificando:
Agrupando os termos similares:
Portanto:
Isso nos dá o sistema de equações:
Então, a solução particular para é:

Passo 8

Finalmente, juntamos as soluções particulares encontradas para cada parte da forçante. Assim, a solução particular geral é:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

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