Encontre uma solução particular para a equação diferencial dada, utilizando o método dos coeficientes indeterminados. y'' + 3 y' + 2 y = 10 e^(3 t);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é ótimo para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma função simples, como uma exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação homogênea associada: . Precisamos encontrar a solução geral dessa parte homogênea, mas como o foco aqui é a solução particular, só vamos usar isso para verificar se a nossa suposição inicial para a solução particular vai funcionar.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma suposição para a solução particular . Como o lado direito da equação é , vamos supor que a solução particular também tem a forma de uma exponencial. Então, nossa suposição é:
Onde é a constante que vamos determinar.

Passo 4

Vamos derivar para encontrar e :
Agora, substituímos , e na equação original:
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução particular é .

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