Encontre uma solução particular para a equação diferencial dada, utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é ótimo para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma função simples, como uma exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação homogênea associada:
. Precisamos encontrar a solução geral dessa parte homogênea, mas como o foco aqui é a solução particular, só vamos usar isso para verificar se a nossa suposição inicial para a solução particular vai funcionar.
Passo 3
Agora, vamos fazer uma suposição para a solução particular
. Como o lado direito da equação é
, vamos supor que a solução particular também tem a forma de uma exponencial. Então, nossa suposição é:
Onde
é a constante que vamos determinar.
Passo 4
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução particular é
.