Considere a seguinte equação integral
(a) Aplique a transformada de Laplace diretamente e obtenha y(t).
(b) Aplique o teorema de Leibniz e obtenha uma equação diferencial, aplicando a transformada de
y(t)+integral0^t(t-x) y(x) d x=sen(2 t)
Laplace em seguida.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação integral que envolve a função e queremos encontrar essa função utilizando a Transformada de Laplace de duas maneiras diferentes:
(a) Aplicando a Transformada de Laplace diretamente na equação.
(b) Utilizando o Teorema de Leibniz para transformar a equação integral em uma equação diferencial e depois aplicar a Transformada de Laplace.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a Transformada de Laplace, especialmente no contexto de integrais e equações diferenciais.

Passo 2

Vamos começar pelo item (a), onde aplicamos a Transformada de Laplace diretamente na equação integral. A equação dada é:
y(t) + integral0^t (t - x) y(x) , dx = sin(2t)
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma função é denotada por .

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace termo a termo:
Ly(t) + Lintegral0^t (t - x) y(x) , dx = Lsin(2t)
Sabemos que e .

Passo 4

Agora, vamos tratar a integral. A expressão Lintegral0^t f(t - x) g(x) , dx = F(s) cdot G(s) é uma convolução entre e . A Transformada de Laplace da convolução de duas funções e é igual ao produto das Transformadas de Laplace das funções:
No nosso caso, e . Sabemos que .

Passo 5

Aplicando isso na nossa equação:
Y(s) + Lintegral0^t (t - x) y(x) , dx = Y(s) + 1s^2 Y(s) = 2s^2 + 4
Podemos fatorar Y(s) (1 + 1s^2) = 2s^2 + 4 :

Passo 6

Agora, isolamos Y(s) = 2s^2 + 4 cdot 11 + 1s^2 = 2s^2 + 4 cdot s^2s^2 + 1 = 2 s^2(s^2 + 1)(s^2 + 4) :

Passo 7

Para encontrar 2 s^2(s^2 + 1)(s^2 + 4) = As^2 + 1 + Bs^2 + 4 , precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Vamos decompor 2 s^2 = A (s^2 + 4) + B (s^2 + 1) em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para 2 = A + B :
0 = 4A + B
Para o termo constante:
B = -4A
Resolvendo esse sistema de equações:
Da segunda equação:
2 = A - 4A Rightarrow 2 = -3A Rightarrow A = -23
Substituindo na primeira equação:
B = -4 (-23) = 83
Então:

Passo 9

Agora, temos:
Y(s) = -23 cdot 1s^2 + 1 + 83 cdot 1s^2 + 4
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:
L^-11s^2 + a^2 = sin(a t)a
Portanto:
y(t) = -23 sin(t) + 83 cdot sin(2t)2 = -23 sin(t) + 43 sin(2t)

Resposta

A solução da equação é:
y(t) = 43 sin(2t) - 23 sin(t)

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