Considere a seguinte equação integral
(a) Aplique a transformada de Laplace diretamente e obtenha
.
(b) Aplique o teorema de Leibniz e obtenha uma equação diferencial, aplicando a transformada de
Laplace em seguida.
(a) Aplique a transformada de Laplace diretamente e obtenha
(b) Aplique o teorema de Leibniz e obtenha uma equação diferencial, aplicando a transformada de
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação integral que envolve a função
e queremos encontrar essa função utilizando a Transformada de Laplace de duas maneiras diferentes:
(a) Aplicando a Transformada de Laplace diretamente na equação.
(b) Utilizando o Teorema de Leibniz para transformar a equação integral em uma equação diferencial e depois aplicar a Transformada de Laplace.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a Transformada de Laplace, especialmente no contexto de integrais e equações diferenciais.
Passo 2
Vamos começar pelo item (a), onde aplicamos a Transformada de Laplace diretamente na equação integral. A equação dada é:
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma função
é denotada por
.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace termo a termo:
Sabemos que
e
.
Passo 4
Agora, vamos tratar a integral. A expressão
é uma convolução entre
e
. A Transformada de Laplace da convolução de duas funções
e
é igual ao produto das Transformadas de Laplace das funções:
No nosso caso,
e
. Sabemos que
.
Passo 5
Aplicando isso na nossa equação:
Podemos fatorar
:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Passo 7
Para encontrar
, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Vamos decompor
em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Para o termo constante:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Passo 9
Agora, temos:
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:
Portanto:
Resposta
A solução da equação é:
Exercícios relacionados
Represente geometricamente o
em torno do eixo
e calcule seu volume.
Resolva
pelo método da variação dos parâmetros.
Resolva as seguintes equações exponenciais:
Obtenha transformada de Laplace de
Obs. Obtenha expressões para a e
derivadas da função dada, e monte uma equação diferencial a partir da expressão para a
derivada.
Obs. Obtenha expressões para a