Considere a seguinte equação integral
(a) Aplique a transformada de Laplace diretamente e obtenha .
(b) Aplique o teorema de Leibniz e obtenha uma equação diferencial, aplicando a transformada de
Laplace em seguida.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação integral que envolve a função e queremos encontrar essa função utilizando a Transformada de Laplace de duas maneiras diferentes:
(a) Aplicando a Transformada de Laplace diretamente na equação.
(b) Utilizando o Teorema de Leibniz para transformar a equação integral em uma equação diferencial e depois aplicar a Transformada de Laplace.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a Transformada de Laplace, especialmente no contexto de integrais e equações diferenciais.

Passo 2

Vamos começar pelo item (a), onde aplicamos a Transformada de Laplace diretamente na equação integral. A equação dada é:
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma função é denotada por .

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace termo a termo:
Sabemos que e .

Passo 4

Agora, vamos tratar a integral. A expressão é uma convolução entre e . A Transformada de Laplace da convolução de duas funções e é igual ao produto das Transformadas de Laplace das funções:
No nosso caso, e . Sabemos que .

Passo 5

Aplicando isso na nossa equação:
Podemos fatorar :

Passo 6

Agora, isolamos :

Passo 7

Para encontrar , precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para :
Para o termo constante:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:

Passo 9

Agora, temos:
Aplicando a Transformada Inversa de Laplace:
Portanto:

Resposta

A solução da equação é:

Exercícios relacionados

Represente geometricamente o
em torno do eixo e calcule seu volume.
Resolva pelo método da variação dos parâmetros.
Resolva as seguintes equações exponenciais:
Obtenha transformada de Laplace de
Obs. Obtenha expressões para a e derivadas da função dada, e monte uma equação diferencial a partir da expressão para a derivada.