Resolva
pelo método da variação dos parâmetros.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que está na forma de um sistema. A equação é:
Estamos lidando com sistemas lineares de equações diferenciais e vamos usar o método da variação dos parâmetros para encontrar a solução geral. Para isso, precisamos primeiro resolver a parte homogênea da equação e depois encontrar uma solução particular que leve em conta o termo não homogêneo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Isso significa que estamos procurando soluções da forma
, onde
é a matriz dos coeficientes e
é um vetor constante.
Para encontrar as soluções, precisamos calcular os autovalores e os autovetores de
.
A matriz
é:
Vamos encontrar os autovalores
resolvendo o determinante
:
Como os autovalores são complexos puros (
e
), as soluções homogêneas terão funções trigonométricas.
Portanto, a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. A ideia aqui é assumir que as constantes
e
não são mais constantes, mas funções de
, ou seja,
e
.
Então, supomos que:
Para encontrar
e
, diferenciamos
em relação a
:
Colocamos isso na equação original
:
Isso resulta em um sistema de equações para
e
. Resolvendo esse sistema, obtemos:
(Nota: Devido à complexidade das integrais envolvidas, os detalhes exatos dos cálculos podem ser extensos, mas seguem os princípios do método da variação dos parâmetros.)
Passo 4
Finalmente, combinamos a solução homogênea
com a solução particular
para obter a solução geral do sistema:
Substituindo as expressões encontradas, temos:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações exponenciais:
Resolva a seguinte equação integro diferencial:
Represente geometricamente o
em torno do eixo
e calcule seu volume.
Considere a seguinte equação integral
(a) Aplique a transformada de Laplace diretamente e obtenha .
(b) Aplique o teorema de Leibniz e obtenha uma equação diferencial, aplicando a transformada de
(a) Aplique a transformada de Laplace diretamente e obtenha
(b) Aplique o teorema de Leibniz e obtenha uma equação diferencial, aplicando a transformada de
Laplace em seguida.