Resolva pelo método da variação dos parâmetros.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que está na forma de um sistema. A equação é:
Estamos lidando com sistemas lineares de equações diferenciais e vamos usar o método da variação dos parâmetros para encontrar a solução geral. Para isso, precisamos primeiro resolver a parte homogênea da equação e depois encontrar uma solução particular que leve em conta o termo não homogêneo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Isso significa que estamos procurando soluções da forma , onde é a matriz dos coeficientes e é um vetor constante.
Para encontrar as soluções, precisamos calcular os autovalores e os autovetores de .
A matriz é:
Vamos encontrar os autovalores resolvendo o determinante :
Como os autovalores são complexos puros ( e ), as soluções homogêneas terão funções trigonométricas.
Portanto, a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. A ideia aqui é assumir que as constantes e não são mais constantes, mas funções de , ou seja, e .
Então, supomos que:
Para encontrar e , diferenciamos em relação a :
Colocamos isso na equação original ãê:
Isso resulta em um sistema de equações para e . Resolvendo esse sistema, obtemos:
ãã
(Nota: Devido à complexidade das integrais envolvidas, os detalhes exatos dos cálculos podem ser extensos, mas seguem os princípios do método da variação dos parâmetros.)

Passo 4

Finalmente, combinamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral do sistema:
Substituindo as expressões encontradas, temos:

Resposta

A solução geral do sistema é:

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações exponenciais:
Resolva a seguinte equação integro diferencial:
Represente geometricamente o
em torno do eixo e calcule seu volume.
Considere a seguinte equação integral
(a) Aplique a transformada de Laplace diretamente e obtenha .
(b) Aplique o teorema de Leibniz e obtenha uma equação diferencial, aplicando a transformada de
Laplace em seguida.