Represente geometricamente o
em torno do eixo
e calcule seu volume.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para representarmos geometricamente a região
em torno do eixo
e calcular o volume dessa figura. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos para volumes de rotações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Temos
variando de 1 a 4 e
de 0 até
. Isso significa que estamos olhando para a área sob a curva
entre
e
.
Passo 3
Para representar geometricamente essa região em torno do eixo
, vamos imaginar girar essa área ao redor do eixo
. O resultado será um sólido de revolução.
Passo 4
Agora, para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método dos discos. A fórmula para o volume
é:
Onde:
-
é a função que define a curva superior, -
e são os limites de integração.
Passo 5
Vamos substituir
na fórmula:
Simplificando
:
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Como estamos calculando um volume definido, vamos aplicar os limites de 1 a 4:
Passo 7
Calculando os valores:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Resolva
pelo método da variação dos parâmetros.
Resolva as seguintes equações exponenciais:
Considere a seguinte equação integral
(a) Aplique a transformada de Laplace diretamente e obtenha .
(b) Aplique o teorema de Leibniz e obtenha uma equação diferencial, aplicando a transformada de
(a) Aplique a transformada de Laplace diretamente e obtenha
(b) Aplique o teorema de Leibniz e obtenha uma equação diferencial, aplicando a transformada de
Laplace em seguida.
Resolva as seguintes equações exponenciais: