Represente geometricamente o B = {(x, y) em R^2 | 1 <= x <= 4, 0 <= y <= raiz(x)}
em torno do eixo x e calcule seu volume.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para representarmos geometricamente a região em torno do eixo e calcular o volume dessa figura. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos para volumes de rotações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Temos variando de 1 a 4 e de 0 até . Isso significa que estamos olhando para a área sob a curva entre e .

Passo 3

Para representar geometricamente essa região em torno do eixo , vamos imaginar girar essa área ao redor do eixo . O resultado será um sólido de revolução.

Passo 4

Agora, para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método dos discos. A fórmula para o volume é:
Onde:
  • é a função que define a curva superior,
  • e são os limites de integração.

Passo 5

Vamos substituir na fórmula:
Simplificando :

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Como estamos calculando um volume definido, vamos aplicar os limites de 1 a 4:

Passo 7

Calculando os valores:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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