Considere a seguinte função densidade de probabilidade da variável aleatória X :
f_X(x) = { (x/2) - 1 , se 2 <= x <= k ; 0 , caso contrário }á
c) Calcule P(5/2 <= X < 3).
Nota: se não conseguir determinar o valor de k, nas alíneas seguintes considere k = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Primeiro, vamos entender o que tá sendo pedido. Temos uma função densidade de probabilidade f_X(x) = { (x/2) - 1 , se 2 <= x <= k ; 0 , caso contrário } definida por:
á
A gente precisa calcular a probabilidade . Isso envolve tópicos de Probabilidade e Estatística, especificamente sobre funções densidade de probabilidade e integração.
Como a questão menciona que, se não conseguirmos determinar o valor de , devemos considerar . Então, vamos seguir com para facilitar nossa resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que é realmente uma função densidade de probabilidade válida. Para isso, a integral de em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Vamos verificar isso:

Passo 3

Vamos calcular essa integral:
Agora, avaliamos de 2 a 4:
Então, a integral total é 1, confirmando que é uma função densidade válida.

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade . Isso significa que vamos integrar de até :

Passo 5

Calculando a integral:
Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para :

Passo 6

Agora, subtraímos os valores calculados:

Resposta

A probabilidade é de .

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