Considere a seguinte função densidade de probabilidade da variável aleatória
:
a) Determine
de modo que
seja de facto uma função densidade de probabilidade.
Nota: se não conseguir determinar o valor de
, nas alíneas seguintes considere
Nota: se não conseguir determinar o valor de
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o valor de
de modo que a função
seja uma função densidade de probabilidade. Estamos trabalhando com probabilidade e funções densidade, e para isso precisamos garantir que
satisfaça duas condições principais: ser não negativa em todo o seu domínio e que a integral de
em todo o domínio seja igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função
seja não negativa no intervalo
. A função dada é
. Para que seja não negativa,
Passo 3
Resolvendo a inequação:
Isso indica que para
,
. Como o domínio já é
, essa condição é satisfeita para qualquer
.
Passo 4
Agora, precisamos garantir que a integral de
de 2 a
seja igual a 1:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Passo 6
Igualando a integral a 1:
Simplificando:
Passo 7
As soluções são
ou
. No entanto, como
, descartamos
.
Resposta
O valor de
que torna
uma função densidade de probabilidade é
.