Considere a seguinte função densidade de probabilidade da variável aleatória X :
f_X(x) = { (x/2) - 1 , se 2 <= x <= k ; 0 , caso contrário }á
a) Determine k de modo que f_X(x) seja de facto uma função densidade de probabilidade.
Nota: se não conseguir determinar o valor de k, nas alíneas seguintes considere k = 4

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o valor de de modo que a função seja uma função densidade de probabilidade. Estamos trabalhando com probabilidade e funções densidade, e para isso precisamos garantir que satisfaça duas condições principais: ser não negativa em todo o seu domínio e que a integral de em todo o domínio seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja não negativa no intervalo . A função dada é . Para que seja não negativa,

Passo 3

Resolvendo a inequação:
Isso indica que para , . Como o domínio já é , essa condição é satisfeita para qualquer .

Passo 4

Agora, precisamos garantir que a integral de de 2 a seja igual a 1:

Passo 5

Vamos calcular a integral:

Passo 6

Igualando a integral a 1:
Simplificando:

Passo 7

As soluções são ou . No entanto, como , descartamos .

Resposta

O valor de que torna uma função densidade de probabilidade é .

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