Considere a seguinte função densidade de probabilidade da variável aleatória
:
a) Determine
de modo que
seja de facto uma função densidade de probabilidade.
Nota: se não conseguir determinar o valor de
, nas alíneas seguintes considere
Nota: se não conseguir determinar o valor de
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o valor de
de modo que a função
seja uma função densidade de probabilidade. Estamos trabalhando com probabilidade e funções densidade, e para isso precisamos garantir que
satisfaça duas condições principais: ser não negativa em todo o seu domínio e que a integral de
em todo o domínio seja igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função
seja não negativa no intervalo
. A função dada é
. Para que seja não negativa,
Passo 3
Resolvendo a inequação:
Isso indica que para
,
. Como o domínio já é
, essa condição é satisfeita para qualquer
.
Passo 4
Agora, precisamos garantir que a integral de
de 2 a
seja igual a 1:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Passo 6
Igualando a integral a 1:
Simplificando:
Passo 7
As soluções são
ou
. No entanto, como
, descartamos
.
Resposta
O valor de
que torna
uma função densidade de probabilidade é
.
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O departamento de controlo de qualidade de um fabricante de medicamentos tem a responsabilidade de averiguar se os comprimidos que saem da linha de produção cumprem com as normas europeias de produção (comprimidos adequados) ou não (comprimidos inadequados) através de um teste diagnóstico. Na impossibilidade de analisar todos os comprimidos (teste diagnóstico destrutivo), após uns meses de estudo concluiu-se que:
- dos comprimidos inadequados analisados,
são diagnosticados como inadequados e não o são; - dos comprimidos adequados analisados,
são diagnosticados como adequados e não o são; -
dos comprimidos são inadequados.
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Numa determinada lamela só existem duas bactérias. Sabe-se que, nessa lamela, a probabilidade da bactéria
estar viva daqui a 30 anos é
, enquanto que a probabilidade da bactéria
estar viva daqui a 30 anos é
. Assumindo que as bactérias não competem nem cooperam entre si, qual é a probabilidade de, nessa lamela, daqui a 30 anos:
b) apenas a bactéria B estar viva.
b) apenas a bactéria B estar viva.
Considere a seguinte função densidade de probabilidade da variável aleatória
:
c) Calcule
.
Nota: se não conseguir determinar o valor de , nas alíneas seguintes considere
Nota: se não conseguir determinar o valor de
Considere a seguinte função densidade de probabilidade da variável aleatória
:
b) Calcule
.
Nota: se não conseguir determinar o valor de , nas alíneas seguintes considere
Nota: se não conseguir determinar o valor de