Considere a seguinte função densidade de probabilidade da variável aleatória
:
b) Calcule
.
Nota: se não conseguir determinar o valor de
, nas alíneas seguintes considere
Nota: se não conseguir determinar o valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, temos uma função densidade de probabilidade para uma variável aleatória
. O que precisamos calcular é o valor esperado de
, que é basicamente a média que esperamos obter se repetirmos o experimento muitas vezes. Para isso, vamos usar a fórmula do valor esperado em probabilidade e integrar a função fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o valor esperado
. Ele é definido como:
No nosso caso, a função
é diferente de zero apenas entre
e
. Como a nota diz para assumir
se não conseguirmos determinar
, vamos usar
.
Passo 3
Agora, substituindo
na função densidade, temos:
Então, o valor esperado fica:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
- Para
:
- Para
:
Então, a integral completa é:
Passo 6
Vamos calcular nos limites de 4 e 2:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Subtraindo os resultados:
Resposta
O valor esperado
é
.