Considere a seguinte função densidade de probabilidade da variável aleatória X :
f_X(x) = { (x/2) - 1 , se 2 <= x <= k ; 0 , caso contrário }á
b) Calcule E(X).
Nota: se não conseguir determinar o valor de k, nas alíneas seguintes considere k = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, temos uma função densidade de probabilidade para uma variável aleatória . O que precisamos calcular é o valor esperado de , que é basicamente a média que esperamos obter se repetirmos o experimento muitas vezes. Para isso, vamos usar a fórmula do valor esperado em probabilidade e integrar a função fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o valor esperado . Ele é definido como:
No nosso caso, a função é diferente de zero apenas entre e . Como a nota diz para assumir se não conseguirmos determinar , vamos usar .

Passo 3

Agora, substituindo na função densidade, temos:
á
Então, o valor esperado fica:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Para :
  1. Para :
Então, a integral completa é:

Passo 6

Vamos calcular nos limites de 4 e 2:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 7

Subtraindo os resultados:

Resposta

O valor esperado é .

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