O Sr. Motley, germofóbico assumido, estima que em qualquer elevador que entra a probabilidade de alguém carregar no botão do andar para onde pretende ir é de 0.2. Se ninguém o fizer, o Sr. Motley não carrega no botão e sai no andar mais próximo. Supondo que o Sr. Motley anda de elevador uma vez por dia, determine:
b) Quantos dias tem que esperar em média até conseguir sair no andar pretendido.
b) Quantos dias tem que esperar em média até conseguir sair no andar pretendido.
Passo 1
Vamos entender o problema: o Sr. Motley usa o elevador uma vez por dia. A cada vez que ele usa o elevador, há uma probabilidade de 0,2 (ou 20%) de que outra pessoa pressione o botão do andar que ele deseja. Se ninguém fizer isso, ele simplesmente desce no andar mais próximo, sem ir ao andar que pretende. Queremos descobrir, em média, quantos dias ele precisa esperar até conseguir descer no andar que deseja.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição geométrica, que nos ajudam a calcular o número esperado de tentativas até ocorrer o primeiro sucesso em eventos independentes.
Passo 2
Primeiro, definimos o que é um “sucesso” nesse contexto: é quando outra pessoa pressiona o botão do andar que o Sr. Motley deseja. A probabilidade desse sucesso ocorrer em um dia é de
.
Como cada dia é uma tentativa independente, podemos modelar essa situação usando a distribuição geométrica, que nos dá o número esperado de tentativas até o primeiro sucesso. A fórmula para o valor esperado
na distribuição geométrica é:
Substituindo o valor de
:
Isso significa que, em média, o Sr. Motley precisará esperar 5 dias para conseguir descer no andar que deseja.
Resposta
Em média, o Sr. Motley precisa esperar 5 dias até conseguir sair no andar pretendido.