Considere a seguinte função vetorial:
A função
é contínua em
? Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função vetorial
é contínua em
. Estamos lidando com conceitos de limites e continuidade de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 e comparar com o valor da função em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se o limite de
quando
tende a
for igual ao valor da função em
, ou seja:
No nosso caso, queremos saber se:
Vamos calcular o limite de cada componente de
separadamente.
Passo 3
A função
é dada por:
Vamos calcular o limite de cada componente quando
tende a 0.
Primeira componente:
Esse limite é um resultado conhecido do cálculo e vale 1.
Segunda componente:
Aqui, podemos usar a regra de L’Hôpital, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0. Derivando o numerador e denominador:
Terceira componente:
Resposta
O limite de
quando
tende a 0 é
, que é igual a
. Portanto, a função
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Esboce a região do plano composta pelos pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições fornecidas.
-
,
Determine uma equação vetorial e as equações paramétricas da reta tangente à curva:
no ponto
.
Determine o comprimento de arco da curva, cujas equações paramétricas são
em que
.