Considere a seguinte função vetorial:
F(t)= (1,0,1) & , se t=0 (sin tt, 1-cos tt, t+1) & , se t neq 0
A função F(t) é contínua em t=0 ? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função vetorial é contínua em . Estamos lidando com conceitos de limites e continuidade de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar calcular o limite de quando se aproxima de 0 e comparar com o valor da função em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função limt to a F(t) = F(a) é contínua em limt to 0 F(t) = F(0) se o limite de quando tende a for igual ao valor da função em , ou seja:
No nosso caso, queremos saber se:
Vamos calcular o limite de cada componente de separadamente.

Passo 3

A função F(t)= (1,0,1) & , se t=0 (sin tt, 1-cos tt, t+1) & , se t neq 0 é dada por:
limt to 0 sin tt
Vamos calcular o limite de cada componente quando limt to 0 1 - cos tt tende a 0.
Primeira componente:
limt to 0 sin t1 = 0
Esse limite é um resultado conhecido do cálculo e vale 1.
Segunda componente:
limt to 0 (t + 1) = 1
Aqui, podemos usar a regra de L’Hôpital, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0. Derivando o numerador e denominador:
Terceira componente:

Resposta

O limite de quando tende a 0 é , que é igual a . Portanto, a função é contínua em .

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