Considere a seguinte função vetorial:
A função é contínua em ? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função vetorial é contínua em . Estamos lidando com conceitos de limites e continuidade de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar calcular o limite de quando se aproxima de 0 e comparar com o valor da função em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se o limite de quando tende a for igual ao valor da função em , ou seja:
No nosso caso, queremos saber se:
Vamos calcular o limite de cada componente de separadamente.

Passo 3

A função é dada por:
Vamos calcular o limite de cada componente quando tende a 0.
Primeira componente:
Esse limite é um resultado conhecido do cálculo e vale 1.
Segunda componente:
Aqui, podemos usar a regra de L’Hôpital, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0. Derivando o numerador e denominador:
Terceira componente:

Resposta

O limite de quando tende a 0 é , que é igual a . Portanto, a função é contínua em .

Exercícios relacionados

Esboce a região do plano composta pelos pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições fornecidas.
  1. ,
Determine o valor da área da superfície gerada pela rotação da parte da curva entre e em torno do eixo .
Determine uma equação vetorial e as equações paramétricas da reta tangente à curva:
no ponto .
Determine o comprimento de arco da curva, cujas equações paramétricas são
em que .