2,5 Determine o valor da área da superfície gerada pela rotação da parte da curva y = x^2 entre x = 0 e x = 1 em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície que forma quando a parte da curva entre e gira em torno do eixo . Para isso, vamos usar o cálculo de áreas de superfícies de revolução, que é uma técnica da matemática para calcular áreas quando uma curva gira em torno de um eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo :
Aqui, e são os limites de que, no nosso caso, são 0 e 1.

Passo 3

Vamos identificar e calcular a derivada . Na nossa curva, , então:
Agora, vamos substituir e na fórmula da área:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos resolver essa integral. Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja:
Então, derivando ambos os lados:
Precisamos ajustar nossa integral para usar essa substituição. Observamos que temos um na frente, que podemos reescrever como:

Passo 6

Substituindo tudo na integral:
Mas como foi substituído por , simplificamos a expressão:

Passo 7

Vamos expandir :
Agora, a integral fica:

Passo 8

Calculando as integrais:
Aplicando os limites de 1 a 5:

Passo 9

Calculando os valores:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 10

Juntando tudo:
Combinando os termos semelhantes:
Finalmente:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 4:

Resposta

A área da superfície gerada pela rotação da curva entre e em torno do eixo é:

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