Determine o valor da área da superfície gerada pela rotação da parte da curva
entre
e
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície que forma quando a parte da curva
entre
e
gira em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o cálculo de áreas de superfícies de revolução, que é uma técnica da matemática para calcular áreas quando uma curva gira em torno de um eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a área da superfície gerada pela rotação de uma curva
em torno do eixo
:
Aqui,
e
são os limites de
que, no nosso caso, são 0 e 1.
Passo 3
Vamos identificar
e calcular a derivada
. Na nossa curva,
, então:
Agora, vamos substituir
e
na fórmula da área:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos resolver essa integral. Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja:
Então, derivando ambos os lados:
Precisamos ajustar nossa integral para usar essa substituição. Observamos que temos um
na frente, que podemos reescrever como:
Passo 6
Substituindo tudo na integral:
Mas como
foi substituído por
, simplificamos a expressão:
Passo 7
Vamos expandir
:
Agora, a integral fica:
Passo 8
Calculando as integrais:
Aplicando os limites de 1 a 5:
Passo 9
Calculando os valores:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 10
Juntando tudo:
Combinando os termos semelhantes:
Finalmente:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 4:
Resposta
A área da superfície gerada pela rotação da curva
entre
e
em torno do eixo
é: