Considere os seguinte ideais de Z[X]: I = < X^2 - 2 >, J = < 7, X^2 + 1 > e K = < X^2 - 3,5 >. Assinale a alternativa correta.
(b) K é primo, mas I e J não são primos.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos três ideais no anel de polinômios com coeficientes inteiros, :
A questão quer saber se a alternativa (b) está correta, que afirma que K é primo, mas I e J não são primos. Para verificar isso, vamos precisar entender o que significa um ideal ser primo e aplicar esse conceito a cada um desses ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um ideal primo. Em um anel R, um ideal P é primo se, sempre que o produto de dois elementos de R está em P, pelo menos um dos elementos está em P. Em outras palavras, se , então ou .
Isso é importante porque ideais primos têm uma relação direta com as propriedades de integridade do anel quociente , que será um anel integral se e somente se P for primo.

Passo 3

Vamos começar analisando o ideal . Para determinar se K é primo, consideramos o anel quociente . Nesse anel, temos que e , o que significa que . Portanto, estamos trabalhando em um anel onde os coeficientes são reduzidos módulo 5.
Agora, verificamos se é um domínio integral. Se sim, então K é primo.

Passo 4

Reduzindo os coeficientes módulo 5, temos . Vamos verificar se o polinômio é irredutível sobre .
Testamos os possíveis valores de X em :
Como não tem raízes em , ele é irredutível nesse anel. Portanto, é um corpo, o que significa que K é um ideal primo.

Passo 5

Agora, vamos verificar os ideais e para ver se eles são primos.
Começando com . Consideramos o anel quociente , onde . Para que I seja primo, deve ser um domínio integral.
No entanto, observamos que pode ter fatores em . Mas, de fato, é irredutível sobre Z (pela regra de Eisenstein, por exemplo). Isso sugere que é um domínio, mas precisamos considerar se há algum fator comum que possa anular essa propriedade.
Analisando mais a fundo, percebemos que a presença do número primo 2 pode introduzir elementos zerodivisores em , o que significa que I não é necessariamente primo em .
Para confirmar, podemos notar que Z não é um corpo, e a extensão para polinômios pode introduzir complicações que fazem com que I não seja um ideal primo.

Passo 6

Agora, vamos para o ideal . Para verificar se J é primo, consideramos o anel quociente , onde e , ou seja, .
Reduzindo os coeficientes módulo 7, temos:
Precisamos verificar se é irredutível sobre .
Testando os valores de X em :
Como não há raízes, é irredutível sobre , o que significa que é um corpo. Portanto, J é um ideal primo.

Resposta

A alternativa (b) está incorreta, pois K é primo, mas também J é primo, contrariando a afirmação de que apenas K é primo.

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