Considere os seguinte ideais de
e
. Assinale a alternativa correta.
(b)
é primo, mas
e
não são primos.
(b)
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos três ideais no anel de polinômios com coeficientes inteiros,
:
A questão quer saber se a alternativa (b) está correta, que afirma que
é primo, mas
e
não são primos. Para verificar isso, vamos precisar entender o que significa um ideal ser primo e aplicar esse conceito a cada um desses ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um ideal primo. Em um anel
, um ideal
é primo se, sempre que o produto de dois elementos de
está em
, pelo menos um dos elementos está em
. Em outras palavras, se
, então
ou
.
Isso é importante porque ideais primos têm uma relação direta com as propriedades de integridade do anel quociente
, que será um anel integral se e somente se
for primo.
Passo 3
Vamos começar analisando o ideal
. Para determinar se
é primo, consideramos o anel quociente
. Nesse anel, temos que
e
, o que significa que
. Portanto, estamos trabalhando em um anel onde os coeficientes são reduzidos módulo 5.
Agora, verificamos se
é um domínio integral. Se sim, então
é primo.
Passo 4
Reduzindo os coeficientes módulo 5, temos
. Vamos verificar se o polinômio
é irredutível sobre
.
Testamos os possíveis valores de
em
:
Como
não tem raízes em
, ele é irredutível nesse anel. Portanto,
é um corpo, o que significa que
é um ideal primo.
Passo 5
Agora, vamos verificar os ideais
e
para ver se eles são primos.
Começando com
. Consideramos o anel quociente
, onde
. Para que
seja primo,
deve ser um domínio integral.
No entanto, observamos que
pode ter fatores em
. Mas, de fato,
é irredutível sobre
(pela regra de Eisenstein, por exemplo). Isso sugere que
é um domínio, mas precisamos considerar se há algum fator comum que possa anular essa propriedade.
Analisando mais a fundo, percebemos que a presença do número primo 2 pode introduzir elementos zerodivisores em
, o que significa que
não é necessariamente primo em
.
Para confirmar, podemos notar que
não é um corpo, e a extensão para polinômios pode introduzir complicações que fazem com que
não seja um ideal primo.
Passo 6
Agora, vamos para o ideal
. Para verificar se
é primo, consideramos o anel quociente
, onde
e
, ou seja,
.
Reduzindo os coeficientes módulo 7, temos:
Precisamos verificar se
é irredutível sobre
.
Testando os valores de
em
:
Como não há raízes,
é irredutível sobre
, o que significa que
é um corpo. Portanto,
é um ideal primo.
Resposta
A alternativa (b) está incorreta, pois
é primo, mas também
é primo, contrariando a afirmação de que apenas
é primo.