Seja
o grupo diedral de ordem
, onde
. Assinale a alternativa incorreta.
(e)
é gerado por dois elementos de ordem 2 .
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o grupo diedral
de ordem
, onde
. Nosso objetivo aqui é analisar a alternativa (e), que afirma que
é gerado por dois elementos de ordem 2. Para resolver isso, precisamos entender como os grupos diedrais são formados e quais são as propriedades dos seus geradores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo diedral. O grupo diedral
representa as simetrias de um polígono regular de
lados. Ele possui dois tipos de elementos: rotações e reflexões. A ordem do grupo é
, ou seja, tem
rotações e
reflexões.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre os geradores do grupo. No caso de
, normalmente a gente usa dois elementos para gerar todo o grupo:
- Uma rotação
de ordem (ou seja, , onde é a identidade). - Uma reflexão
de ordem 2 (ou seja, ).
Esses dois elementos são suficientes para gerar todas as rotações e reflexões do grupo.
Passo 4
A alternativa (e) diz que
é gerado por dois elementos de ordem 2. Isso significa que ambos os geradores teriam ordem 2, ou seja, seriam reflexões. Vamos pensar: se tivermos duas reflexões
e
, cada uma com
, será que elas podem gerar todas as rotações e reflexões do grupo?
Na verdade, sim! Sabemos que a composição de duas reflexões resulta em uma rotação. Portanto, com duas reflexões apropriadas, podemos gerar as rotações necessárias. Assim, mesmo usando só elementos de ordem 2, conseguimos gerar todo o grupo diedral
.
Passo 5
Então, a alternativa (e) afirma que
é gerado por dois elementos de ordem 2, e vimos que isso é verdade. Portanto, essa alternativa está correta.
Resposta
A alternativa (e) está correta, pois o grupo diedral
pode ser gerado por dois elementos de ordem 2.