Seja Dn o grupo diedral de ordem 2n, onde n ≥ 3. Assinale a alternativa incorreta.
(e) Dn é gerado por dois elementos de ordem 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o grupo diedral de ordem , onde . Nosso objetivo aqui é analisar a alternativa (e), que afirma que é gerado por dois elementos de ordem 2. Para resolver isso, precisamos entender como os grupos diedrais são formados e quais são as propriedades dos seus geradores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo diedral. O grupo diedral representa as simetrias de um polígono regular de lados. Ele possui dois tipos de elementos: rotações e reflexões. A ordem do grupo é , ou seja, tem rotações e reflexões.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre os geradores do grupo. No caso de , normalmente a gente usa dois elementos para gerar todo o grupo:
  1. Uma rotação de ordem (ou seja, , onde é a identidade).
  2. Uma reflexão de ordem 2 (ou seja, ).
Esses dois elementos são suficientes para gerar todas as rotações e reflexões do grupo.

Passo 4

A alternativa (e) diz que é gerado por dois elementos de ordem 2. Isso significa que ambos os geradores teriam ordem 2, ou seja, seriam reflexões. Vamos pensar: se tivermos duas reflexões e , cada uma com , será que elas podem gerar todas as rotações e reflexões do grupo?
Na verdade, sim! Sabemos que a composição de duas reflexões resulta em uma rotação. Portanto, com duas reflexões apropriadas, podemos gerar as rotações necessárias. Assim, mesmo usando só elementos de ordem 2, conseguimos gerar todo o grupo diedral .

Passo 5

Então, a alternativa (e) afirma que é gerado por dois elementos de ordem 2, e vimos que isso é verdade. Portanto, essa alternativa está correta.

Resposta

A alternativa (e) está correta, pois o grupo diedral pode ser gerado por dois elementos de ordem 2.

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