Uma sequência exata de espaços vetoriais de dimensão finita
é uma sequência de transformações lineares Ti tais que ker(T_{i+1}) = im(T_{i}) para i = 0, 1, 2, 3 (denotamos por 0 o espaço vetorial nulo). Se na sequência exata acima dim Vi = di, então é sempre verdade que
(b) d1 + d2 = d3 + d4
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência exata de espaços vetoriais finitos conectados por transformações lineares . O objetivo é mostrar que a soma das dimensões de e é igual à soma das dimensões de e , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre dimensões de espaços vetoriais e propriedades de sequências exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma sequência exata. Em uma sequência exata de espaços vetoriais, a imagem de uma transformação linear é igual ao núcleo da próxima. Formalmente, para cada transformação , temos .
Passo 3
Vamos aplicar o Teorema da Dimensão, que nos diz que para qualquer transformação linear , a dimensão do domínio é igual à soma da dimensão do núcleo de e da dimensão da imagem de :
Isso nos ajudará a relacionar as dimensões dos espaços .
Passo 4
Aplicando o Teorema da Dimensão para cada transformação na sequência:
Para :
Isso implica que .
Para :
Como , podemos escrever:
Para :
E como :
Para :
E :
Para :
Passo 5
Agora, vamos somar as equações obtidas:
Somando as três primeiras equações:
Mas sabemos que , então substituindo:
Passo 6
Observando que a sequência é exata, sabemos que:
Portanto, podemos reescrever a soma das dimensões: