Seja
uma matriz real de ordem
com
autovalores distintos. Seja
uma matriz que comuta com
, onde
representa a matriz identidade de ordem
. Considere as seguintes afirmações:
(III)
tem autovalor nulo se
tem autovalor nulo
(III)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz real
de ordem
que tem
autovalores distintos. Além disso, temos outra matriz
que não é a identidade
e que comuta com
(ou seja,
). A afirmação que vamos analisar é:
(III)
tem autovalor nulo se
tem autovalor nulo.
Vamos precisar entender conceitos de autovalores, matrizes que comutam e algumas propriedades relacionadas. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se duas matrizes
e
comutam (
) e
possui autovalores distintos, então
pode ser escrita como um polinômio de
. Isso significa que existe um polinômio
tal que:
Essa propriedade é importante porque nos permite relacionar os autovalores de
com os de
.
Passo 3
Agora, suponha que
tem um autovalor nulo, ou seja, existe um vetor não nulo
tal que:
Esse vetor
é um autovetor de
correspondente ao autovalor zero.
Passo 4
Como
, vamos aplicar
ao vetor
:
Para entender isso, precisamos saber como polinômios de matrizes agem sobre vetores. Um polinômio
aplicado a
é:
Mas já sabemos que
, então todas as potências de
aplicadas a
também serão zero:
Passo 5
Com isso, a expressão simplifica para:
Aqui,
é o coeficiente constante do polinômio
. Portanto:
Isso mostra que
também é um autovetor de
com o autovalor
.
Passo 6
Agora, para
ter um autovalor nulo, precisamos que
. Mas como
, o polinômio
não pode ser uma constante diferente de zero (pois isso faria
ser um múltiplo da identidade).
Portanto, é necessário que
para que
não seja a identidade, o que implica que
tem um autovalor nulo.
Resposta
Sim, a afirmação (III) é verdadeira. Se
tem um autovalor nulo, então
também possui um autovalor nulo.