Seja A uma matriz real de ordem n > 1 com n autovalores distintos. Seja B != I_n uma matriz que comuta com A, onde In representa a matriz identidade de ordem n. Considere as seguintes afirmações:
(III) B tem autovalor nulo se A tem autovalor nulo

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz real de ordem que tem autovalores distintos. Além disso, temos outra matriz que não é a identidade e que comuta com (ou seja, ). A afirmação que vamos analisar é:
(III) tem autovalor nulo se tem autovalor nulo.
Vamos precisar entender conceitos de autovalores, matrizes que comutam e algumas propriedades relacionadas. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se duas matrizes e comutam ( ) e possui autovalores distintos, então pode ser escrita como um polinômio de . Isso significa que existe um polinômio tal que:
Essa propriedade é importante porque nos permite relacionar os autovalores de com os de .

Passo 3

Agora, suponha que tem um autovalor nulo, ou seja, existe um vetor não nulo tal que:
Esse vetor é um autovetor de correspondente ao autovalor zero.

Passo 4

Como , vamos aplicar ao vetor :
Para entender isso, precisamos saber como polinômios de matrizes agem sobre vetores. Um polinômio aplicado a é:
Mas já sabemos que , então todas as potências de aplicadas a também serão zero:

Passo 5

Com isso, a expressão simplifica para:
Aqui, é o coeficiente constante do polinômio . Portanto:
Isso mostra que também é um autovetor de com o autovalor .

Passo 6

Agora, para ter um autovalor nulo, precisamos que . Mas como , o polinômio não pode ser uma constante diferente de zero (pois isso faria ser um múltiplo da identidade).
Portanto, é necessário que para que não seja a identidade, o que implica que tem um autovalor nulo.

Resposta

Sim, a afirmação (III) é verdadeira. Se tem um autovalor nulo, então também possui um autovalor nulo.

Exercícios relacionados