Seja Dn o grupo diedral de ordem 2n, onde n ≥ 3. Assinale a alternativa incorreta.
(a) Existe um monomorfismo de Dn em Sn.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o grupo diedral de ordem , onde . A questão pede para identificar qual das alternativas é incorreta. A alternativa (a) diz que existe um monomorfismo de em . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são grupos diedrais, homomorfismos e a relação entre e o grupo simétrico .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo diedral . Ele representa as simetrias de um polígono regular de lados, incluindo rotações e reflexões. Portanto, tem exatamente elementos: rotações e reflexões.

Passo 3

Agora, sobre os homomorfismos de grupos: um homomorfismo é uma função entre dois grupos que respeita a estrutura de grupo, ou seja, a operação do grupo é preservada. Um monomorfismo é um homomorfismo injetivo, ou seja, cada elemento do primeiro grupo é mapeado para um elemento único no segundo grupo.

Passo 4

O grupo simétrico é o grupo de todas as permutações de elementos, e sua ordem é . Queremos saber se existe uma maneira de “colar” dentro de sem perder informações, ou seja, se há um monomorfismo de para .

Passo 5

Considerando que tem ordem e tem ordem , para , divide (já que é múltiplo de ). Isso sugere que é possível inserir dentro de como um subgrupo.

Passo 6

De fato, pode ser representado como um subgrupo de através das permutações que correspondem às rotações e reflexões do polígono. Cada simetria do polígono pode ser vista como uma permutação dos vértices, garantindo que a estrutura de grupo seja preservada.

Passo 7

Portanto, existe sim um monomorfismo de em , ou seja, é possível injetar em mantendo a estrutura de grupo.

Resposta

A alternativa (a) está correta, então não é a alternativa incorreta que devemos assinalar.

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