Seja
o grupo diedral de ordem
, onde
. Assinale a alternativa incorreta.
(a) Existe um monomorfismo de
em
.
(a) Existe um monomorfismo de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o grupo diedral
de ordem
, onde
. A questão pede para identificar qual das alternativas é incorreta. A alternativa (a) diz que existe um monomorfismo de
em
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são grupos diedrais, homomorfismos e a relação entre
e o grupo simétrico
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo diedral
. Ele representa as simetrias de um polígono regular de
lados, incluindo rotações e reflexões. Portanto,
tem exatamente
elementos:
rotações e
reflexões.
Passo 3
Agora, sobre os homomorfismos de grupos: um homomorfismo é uma função entre dois grupos que respeita a estrutura de grupo, ou seja, a operação do grupo é preservada. Um monomorfismo é um homomorfismo injetivo, ou seja, cada elemento do primeiro grupo é mapeado para um elemento único no segundo grupo.
Passo 4
O grupo simétrico
é o grupo de todas as permutações de
elementos, e sua ordem é
. Queremos saber se existe uma maneira de “colar”
dentro de
sem perder informações, ou seja, se há um monomorfismo de
para
.
Passo 5
Considerando que
tem ordem
e
tem ordem
, para
,
divide
(já que
é múltiplo de
). Isso sugere que é possível inserir
dentro de
como um subgrupo.
Passo 6
De fato,
pode ser representado como um subgrupo de
através das permutações que correspondem às rotações e reflexões do polígono. Cada simetria do polígono pode ser vista como uma permutação dos vértices, garantindo que a estrutura de grupo seja preservada.
Passo 7
Portanto, existe sim um monomorfismo de
em
, ou seja, é possível injetar
em
mantendo a estrutura de grupo.
Resposta
A alternativa (a) está correta, então não é a alternativa incorreta que devemos assinalar.