Considere os seguinte ideais de Z[X]: I = < X^2 - 2 >, J = < 7, X^2 + 1 > e K = < X^2 - 3,5 >. Assinale a alternativa correta.
(d) Nenhum dos ideais é maximal.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Temos o anel de polinômios e três ideais dados por , e . A questão pede para verificar se a alternativa (d) “Nenhum dos ideais é maximal” está correta.
Conteúdo envolvido: Teoria dos Ideais em Anéis de Polinômios, Ideais Maximais, Anéis Quocientes e Estrutura de Campos.
Precisaremos verificar para cada ideal se ele é maximal, ou seja, se o quociente é um corpo.

Passo 2

Analisando o ideal :
Para verificar se I é maximal, observamos o quociente . Se esse quociente for um campo, então I é maximal.
No entanto, Z não é um corpo (é um anel), e o quociente só será um campo se o ideal for maximal em relação a um anel que seja de fato um corpo. Como Z não é um corpo, também não será um corpo.
Conclusão: I não é um ideal maximal.

Passo 3

Analisando o ideal :
Primeiro, notamos que o ideal J contém o número 7, então podemos considerar o anel quociente . Agora, verificamos se o polinômio é irreduzível nesse anel.
Em , temos que:
Como pode ser fatorado em polinômios de grau menor, ele não é irreduzível em .
Conclusão: J não é um ideal maximal.

Passo 4

Analisando o ideal :
O ideal K contém o número 5, então consideramos o anel quociente . Agora, verificamos se o polinômio é irreduzível nesse anel.
Em , temos:
Vamos verificar se existe algum elemento tal que .
Testando:
Não existe nenhum a que satisfaça . Portanto, é irreduzível em .
Como é irreduzível e estamos no anel , o quociente é um campo.
Conclusão: K é um ideal maximal.

Resposta

A alternativa (d) está incorreta, pois o ideal é maximal.

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