Considere os seguinte ideais de
e
. Assinale a alternativa correta.
(d) Nenhum dos ideais é maximal.
(d) Nenhum dos ideais é maximal.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: Temos o anel de polinômios
e três ideais dados por
,
e
. A questão pede para verificar se a alternativa (d) “Nenhum dos ideais é maximal” está correta.
Conteúdo envolvido: Teoria dos Ideais em Anéis de Polinômios, Ideais Maximais, Anéis Quocientes e Estrutura de Campos.
Precisaremos verificar para cada ideal se ele é maximal, ou seja, se o quociente
é um corpo.
Passo 2
Analisando o ideal
:
Para verificar se
é maximal, observamos o quociente
. Se esse quociente for um campo, então
é maximal.
No entanto,
não é um corpo (é um anel), e o quociente só será um campo se o ideal for maximal em relação a um anel que seja de fato um corpo. Como
não é um corpo,
também não será um corpo.
Conclusão:
não é um ideal maximal.
Passo 3
Analisando o ideal
:
Primeiro, notamos que o ideal
contém o número 7, então podemos considerar o anel quociente
. Agora, verificamos se o polinômio
é irreduzível nesse anel.
Em
, temos que:
Como
pode ser fatorado em polinômios de grau menor, ele não é irreduzível em
.
Conclusão:
não é um ideal maximal.
Passo 4
Analisando o ideal
:
O ideal
contém o número 5, então consideramos o anel quociente
. Agora, verificamos se o polinômio
é irreduzível nesse anel.
Em
, temos:
Vamos verificar se existe algum elemento
tal que
.
Testando:
Não existe nenhum
que satisfaça
. Portanto,
é irreduzível em
.
Como
é irreduzível e estamos no anel
, o quociente
é um campo.
Conclusão:
é um ideal maximal.
Resposta
A alternativa (d) está incorreta, pois o ideal
é maximal.