Seja Dn o grupo diedral de ordem 2n, onde n ≥ 3. Assinale a alternativa incorreta.
(d) Dn tem um subgrupo normal de ordem n.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! A questão fala sobre o grupo diedral de ordem , onde . O conteúdo aqui é de Álgebra, mais especificamente de Teoria dos Grupos. Para resolver isso, vamos precisar saber o que são grupos diedrais e o que significa ter um subgrupo normal.

Passo 2

Primeiro, o que é o grupo diedral ? É o grupo de simetrias de um polígono regular de lados. Ele tem elementos: rotações e reflexões.

Passo 3

Agora, o que é um subgrupo normal? É um subgrupo de um grupo tal que, para todo elemento em , a conjugação . Isso significa que o subgrupo é “compatível” com a estrutura do grupo maior.

Passo 4

A alternativa diz que tem um subgrupo normal de ordem . Vamos verificar se isso é verdade. Em , o subgrupo das rotações forma um grupo cíclico de ordem , geralmente denotado por .

Passo 5

Esse subgrupo das rotações, , é de fato normal em . Isso ocorre porque as reflexões conjugam-se entre si e as rotações permanecem dentro do subgrupo das rotações após a conjugação.

Passo 6

Portanto, a afirmação de que tem um subgrupo normal de ordem está correta.

Resposta

A alternativa (d) está correta. Portanto, não é a alternativa incorreta buscada pelo exercício.

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