Seja
o grupo diedral de ordem
, onde
. Assinale a alternativa incorreta.
(d)
tem um subgrupo normal de ordem
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! A questão fala sobre o grupo diedral
de ordem
, onde
. O conteúdo aqui é de Álgebra, mais especificamente de Teoria dos Grupos. Para resolver isso, vamos precisar saber o que são grupos diedrais e o que significa ter um subgrupo normal.
Passo 2
Primeiro, o que é o grupo diedral
? É o grupo de simetrias de um polígono regular de
lados. Ele tem
elementos:
rotações e
reflexões.
Passo 3
Agora, o que é um subgrupo normal? É um subgrupo
de um grupo
tal que, para todo elemento
em
, a conjugação
. Isso significa que o subgrupo é “compatível” com a estrutura do grupo maior.
Passo 4
A alternativa diz que
tem um subgrupo normal de ordem
. Vamos verificar se isso é verdade. Em
, o subgrupo das rotações forma um grupo cíclico de ordem
, geralmente denotado por
.
Passo 5
Esse subgrupo das rotações,
, é de fato normal em
. Isso ocorre porque as reflexões conjugam-se entre si e as rotações permanecem dentro do subgrupo das rotações após a conjugação.
Passo 6
Portanto, a afirmação de que
tem um subgrupo normal de ordem
está correta.
Resposta
A alternativa (d) está correta. Portanto, não é a alternativa incorreta buscada pelo exercício.